Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57383 / 42427
↖ ↑ ↗
← N 53.443899°
W 22.392883°		 ← 181.88 m → N 53.443899°
W 22.390137°		 →
↑
181.89 m
↓
↑
181.89 m
↓
N 53.442264°
W 22.392883°		 ← 181.88 m →
33 083 m²		 N 53.442264°
W 22.390137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437801361083984 y=0.323696136474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437801361083984 × 217)
    floor (0.437801361083984 × 131072)
    floor (57383.5)     		tx = 57383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323696136474609 × 217)
    floor (0.323696136474609 × 131072)
    floor (42427.5)     		ty = 42427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57383 / 42427 ti = "17/57383/42427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57383/42427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57383 ÷ 217
    57383 ÷ 131072     		x = 0.437797546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42427 ÷ 217
    42427 ÷ 131072     		y = 0.323692321777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437797546386719 × 2 - 1) × π
    -0.124404907226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.39082954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323692321777344 × 2 - 1) × π
    0.352615356445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.10777381331988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39082954} λ = -0.39082954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10777381331988))-π/2
    2×atan(3.02761085961801)-π/2
    2×1.25178416861636-π/2
    2.50356833723272-1.57079632675     		φ = 0.93277201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39082954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.392883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93277201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.443899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57383 KachelY 42427 -0.39082954 0.93277201 -22.392883 53.443899
    Oben rechts KachelX + 1 57384 KachelY 42427 -0.39078161 0.93277201 -22.390137 53.443899
    Unten links KachelX 57383 KachelY + 1 42428 -0.39082954 0.93274346 -22.392883 53.442264
    Unten rechts KachelX + 1 57384 KachelY + 1 42428 -0.39078161 0.93274346 -22.390137 53.442264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93277201-0.93274346) × R
    2.85500000000161e-05 × 6371000     		dl = 181.892050000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93277201-0.93274346) × R
    2.85500000000161e-05 × 6371000     		dr = 181.892050000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39082954--0.39078161) × cos(0.93277201) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.595609589752272 × 6371000     		do = 181.876553414122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39082954--0.39078161) × cos(0.93274346) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.59563252298396 × 6371000     		du = 181.883556352304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93277201)-sin(0.93274346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595609589752272-0.59563252298396)×R²
    abs(-0.39078161--0.39082954)×2.2933231688449e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.2933231688449e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.2933231688449e-05×40589641000000     		ar = 33082.5360389759m²