Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57380 / 9120
↖ ↑ ↗
← N 78.170582°
E135.197754°		 ← 125.21 m → N 78.170582°
E135.203247°		 →
↑
125.25 m
↓
↑
125.25 m
↓
N 78.169456°
E135.197754°		 ← 125.22 m →
15 684 m²		 N 78.169456°
E135.203247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875556945800781 y=0.139167785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875556945800781 × 216)
    floor (0.875556945800781 × 65536)
    floor (57380.5)     		tx = 57380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139167785644531 × 216)
    floor (0.139167785644531 × 65536)
    floor (9120.5)     		ty = 9120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57380 / 9120 ti = "16/57380/9120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57380/9120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57380 ÷ 216
    57380 ÷ 65536     		x = 0.87554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9120 ÷ 216
    9120 ÷ 65536     		y = 0.13916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87554931640625 × 2 - 1) × π
    0.7510986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35964595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13916015625 × 2 - 1) × π
    0.7216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26722360443018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35964595} λ = 2.35964595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26722360443018))-π/2
    2×atan(9.65256424024529)-π/2
    2×1.46756518262067-π/2
    2.93513036524134-1.57079632675     		φ = 1.36433404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35964595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36433404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.170582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57380 KachelY 9120 2.35964595 1.36433404 135.197754 78.170582
    Oben rechts KachelX + 1 57381 KachelY 9120 2.35974182 1.36433404 135.203247 78.170582
    Unten links KachelX 57380 KachelY + 1 9121 2.35964595 1.36431438 135.197754 78.169456
    Unten rechts KachelX + 1 57381 KachelY + 1 9121 2.35974182 1.36431438 135.203247 78.169456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36433404-1.36431438) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dl = 125.253859999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36433404-1.36431438) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dr = 125.253859999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35964595-2.35974182) × cos(1.36433404) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204998609701595 × 6371000     		do = 125.210643672735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35964595-2.35974182) × cos(1.36431438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205017852128092 × 6371000     		du = 125.222396711504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36433404)-sin(1.36431438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204998609701595-0.205017852128092)×R²
    abs(2.35974182-2.35964595)×1.92424264973123e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92424264973123e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92424264973123e-05×40589641000000     		ar = 15683.8524900742m²