Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57376 / 84793
↖ ↑ ↗
← S 46.666402°
W 22.412109°		 ← 209.60 m → S 46.666402°
W 22.409363°		 →
↑
209.61 m
↓
↑
209.61 m
↓
S 46.668287°
W 22.412109°		 ← 209.59 m →
43 932 m²		 S 46.668287°
W 22.409363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437747955322266 y=0.646923065185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437747955322266 × 217)
    floor (0.437747955322266 × 131072)
    floor (57376.5)     		tx = 57376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646923065185547 × 217)
    floor (0.646923065185547 × 131072)
    floor (84793.5)     		ty = 84793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57376 / 84793 ti = "17/57376/84793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57376/84793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57376 ÷ 217
    57376 ÷ 131072     		x = 0.437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84793 ÷ 217
    84793 ÷ 131072     		y = 0.646919250488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39116510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646919250488281 × 2 - 1) × π
    -0.293838500976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.923120875983421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39116510} λ = -0.39116510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.923120875983421))-π/2
    2×atan(0.397277251324083)-π/2
    2×0.378156978495862-π/2
    0.756313956991725-1.57079632675     		φ = -0.81448237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39116510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.412109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81448237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.666402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57376 KachelY 84793 -0.39116510 -0.81448237 -22.412109 -46.666402
    Oben rechts KachelX + 1 57377 KachelY 84793 -0.39111716 -0.81448237 -22.409363 -46.666402
    Unten links KachelX 57376 KachelY + 1 84794 -0.39116510 -0.81451527 -22.412109 -46.668287
    Unten rechts KachelX + 1 57377 KachelY + 1 84794 -0.39111716 -0.81451527 -22.409363 -46.668287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81448237--0.81451527) × R
    3.29000000000024e-05 × 6371000     		dl = 209.605900000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81448237--0.81451527) × R
    3.29000000000024e-05 × 6371000     		dr = 209.605900000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39116510--0.39111716) × cos(-0.81448237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686244994155452 × 6371000     		do = 209.596885161087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39116510--0.39111716) × cos(-0.81451527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686221063295427 × 6371000     		du = 209.589576060455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81448237)-sin(-0.81451527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686244994155452-0.686221063295427)×R²
    abs(-0.39111716--0.39116510)×2.39308600246124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39308600246124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39308600246124e-05×40589641000000     		ar = 43931.977740035m²