Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57373 / 9116
↖ ↑ ↗
← N 78.175086°
E135.159302°		 ← 125.16 m → N 78.175086°
E135.164795°		 →
↑
125.19 m
↓
↑
125.19 m
↓
N 78.173960°
E135.159302°		 ← 125.18 m →
15 670 m²		 N 78.173960°
E135.164795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875450134277344 y=0.139106750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875450134277344 × 216)
    floor (0.875450134277344 × 65536)
    floor (57373.5)     		tx = 57373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139106750488281 × 216)
    floor (0.139106750488281 × 65536)
    floor (9116.5)     		ty = 9116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57373 / 9116 ti = "16/57373/9116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57373/9116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57373 ÷ 216
    57373 ÷ 65536     		x = 0.875442504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9116 ÷ 216
    9116 ÷ 65536     		y = 0.13909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875442504882812 × 2 - 1) × π
    0.750885009765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35897483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13909912109375 × 2 - 1) × π
    0.7218017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26760709962714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35897483} λ = 2.35897483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26760709962714))-π/2
    2×atan(9.65626666215491)-π/2
    2×1.46760448323581-π/2
    2.93520896647161-1.57079632675     		φ = 1.36441264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35897483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.159302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36441264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.175086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57373 KachelY 9116 2.35897483 1.36441264 135.159302 78.175086
    Oben rechts KachelX + 1 57374 KachelY 9116 2.35907070 1.36441264 135.164795 78.175086
    Unten links KachelX 57373 KachelY + 1 9117 2.35897483 1.36439299 135.159302 78.173960
    Unten rechts KachelX + 1 57374 KachelY + 1 9117 2.35907070 1.36439299 135.164795 78.173960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36441264-1.36439299) × R
    1.96500000000377e-05 × 6371000     		dl = 125.19015000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36441264-1.36439299) × R
    1.96500000000377e-05 × 6371000     		dr = 125.19015000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35897483-2.35907070) × cos(1.36441264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204921678354463 × 6371000     		do = 125.163654946777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35897483-2.35907070) × cos(1.36439299) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204940911309952 × 6371000     		du = 125.17540220077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36441264)-sin(1.36439299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204921678354463-0.204940911309952)×R²
    abs(2.35907070-2.35897483)×1.92329554887793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92329554887793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92329554887793e-05×40589641000000     		ar = 15669.9920581912m²