Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57373 / 85390
↖ ↑ ↗
← S 47.779943°
W 22.420349°		 ← 205.24 m → S 47.779943°
W 22.417602°		 →
↑
205.21 m
↓
↑
205.21 m
↓
S 47.781789°
W 22.420349°		 ← 205.23 m →
42 117 m²		 S 47.781789°
W 22.417602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437725067138672 y=0.651477813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437725067138672 × 217)
    floor (0.437725067138672 × 131072)
    floor (57373.5)     		tx = 57373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651477813720703 × 217)
    floor (0.651477813720703 × 131072)
    floor (85390.5)     		ty = 85390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57373 / 85390 ti = "17/57373/85390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57373/85390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57373 ÷ 217
    57373 ÷ 131072     		x = 0.437721252441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85390 ÷ 217
    85390 ÷ 131072     		y = 0.651473999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437721252441406 × 2 - 1) × π
    -0.124557495117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.39130891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651473999023438 × 2 - 1) × π
    -0.302947998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.951739205056595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39130891} λ = -0.39130891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951739205056595))-π/2
    2×atan(0.386068986085712)-π/2
    2×0.36843949841686-π/2
    0.736878996833719-1.57079632675     		φ = -0.83391733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39130891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.420349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83391733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.779943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57373 KachelY 85390 -0.39130891 -0.83391733 -22.420349 -47.779943
    Oben rechts KachelX + 1 57374 KachelY 85390 -0.39126097 -0.83391733 -22.417602 -47.779943
    Unten links KachelX 57373 KachelY + 1 85391 -0.39130891 -0.83394954 -22.420349 -47.781789
    Unten rechts KachelX + 1 57374 KachelY + 1 85391 -0.39126097 -0.83394954 -22.417602 -47.781789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83391733--0.83394954) × R
    3.2209999999977e-05 × 6371000     		dl = 205.209909999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83391733--0.83394954) × R
    3.2209999999977e-05 × 6371000     		dr = 205.209909999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39130891--0.39126097) × cos(-0.83391733) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.671979868628814 × 6371000     		do = 205.239948641161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39130891--0.39126097) × cos(-0.83394954) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.671956014539426 × 6371000     		du = 205.232662988258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83391733)-sin(-0.83394954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671979868628814-0.671956014539426)×R²
    abs(-0.39126097--0.39130891)×2.38540893876538e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38540893876538e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38540893876538e-05×40589641000000     		ar = 42116.5238485038m²