Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57372 / 9111
↖ ↑ ↗
← N 78.180713°
E135.153809°		 ← 125.10 m → N 78.180713°
E135.159302°		 →
↑
125.13 m
↓
↑
125.13 m
↓
N 78.179588°
E135.153809°		 ← 125.12 m →
15 655 m²		 N 78.179588°
E135.159302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875434875488281 y=0.139030456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875434875488281 × 216)
    floor (0.875434875488281 × 65536)
    floor (57372.5)     		tx = 57372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139030456542969 × 216)
    floor (0.139030456542969 × 65536)
    floor (9111.5)     		ty = 9111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57372 / 9111 ti = "16/57372/9111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57372/9111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57372 ÷ 216
    57372 ÷ 65536     		x = 0.87542724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9111 ÷ 216
    9111 ÷ 65536     		y = 0.139022827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87542724609375 × 2 - 1) × π
    0.7508544921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35887896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139022827148438 × 2 - 1) × π
    0.721954345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26808646862334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35887896} λ = 2.35887896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26808646862334))-π/2
    2×atan(9.66089668666824)-π/2
    2×1.46765358826459-π/2
    2.93530717652918-1.57079632675     		φ = 1.36451085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35887896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.153809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36451085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.180713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57372 KachelY 9111 2.35887896 1.36451085 135.153809 78.180713
    Oben rechts KachelX + 1 57373 KachelY 9111 2.35897483 1.36451085 135.159302 78.180713
    Unten links KachelX 57372 KachelY + 1 9112 2.35887896 1.36449121 135.153809 78.179588
    Unten rechts KachelX + 1 57373 KachelY + 1 9112 2.35897483 1.36449121 135.159302 78.179588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36451085-1.36449121) × R
    1.96400000000985e-05 × 6371000     		dl = 125.126440000627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36451085-1.36449121) × R
    1.96400000000985e-05 × 6371000     		dr = 125.126440000627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35887896-2.35897483) × cos(1.36451085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204825551542235 × 6371000     		do = 125.104941865499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35887896-2.35897483) × cos(1.36449121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204844775105168 × 6371000     		du = 125.116683382634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36451085)-sin(1.36449121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204825551542235-0.204844775105168)×R²
    abs(2.35897483-2.35887896)×1.92235629332127e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92235629332127e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92235629332127e-05×40589641000000     		ar = 15654.6705897079m²