Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57370 / 85482
↖ ↑ ↗
← S 47.949466°
W 22.428589°		 ← 204.53 m → S 47.949466°
W 22.425843°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
S 47.951305°
W 22.428589°		 ← 204.52 m →
41 840 m²		 S 47.951305°
W 22.425843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437702178955078 y=0.652179718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437702178955078 × 217)
    floor (0.437702178955078 × 131072)
    floor (57370.5)     		tx = 57370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652179718017578 × 217)
    floor (0.652179718017578 × 131072)
    floor (85482.5)     		ty = 85482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57370 / 85482 ti = "17/57370/85482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57370/85482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57370 ÷ 217
    57370 ÷ 131072     		x = 0.437698364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85482 ÷ 217
    85482 ÷ 131072     		y = 0.652175903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437698364257812 × 2 - 1) × π
    -0.124603271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39145272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652175903320312 × 2 - 1) × π
    -0.304351806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.95614939982164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39145272} λ = -0.39145272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.95614939982164))-π/2
    2×atan(0.384370095636804)-π/2
    2×0.366960136684766-π/2
    0.733920273369531-1.57079632675     		φ = -0.83687605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39145272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.428589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83687605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.949466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57370 KachelY 85482 -0.39145272 -0.83687605 -22.428589 -47.949466
    Oben rechts KachelX + 1 57371 KachelY 85482 -0.39140479 -0.83687605 -22.425843 -47.949466
    Unten links KachelX 57370 KachelY + 1 85483 -0.39145272 -0.83690816 -22.428589 -47.951305
    Unten rechts KachelX + 1 57371 KachelY + 1 85483 -0.39140479 -0.83690816 -22.425843 -47.951305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83687605--0.83690816) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dl = 204.572810000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83687605--0.83690816) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dr = 204.572810000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39145272--0.39140479) × cos(-0.83687605) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.669785793028873 × 6371000     		do = 204.527149424345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39145272--0.39140479) × cos(-0.83690816) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.669761949262784 × 6371000     		du = 204.519868443529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83687605)-sin(-0.83690816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669785793028873-0.669761949262784)×R²
    abs(-0.39140479--0.39145272)×2.38437660881052e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38437660881052e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38437660881052e-05×40589641000000     		ar = 41839.9489374806m²