Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57370 / 85446
↖ ↑ ↗
← S 47.883197°
W 22.428589°		 ← 204.79 m → S 47.883197°
W 22.425843°		 →
↑
204.83 m
↓
↑
204.83 m
↓
S 47.885039°
W 22.428589°		 ← 204.78 m →
41 946 m²		 S 47.885039°
W 22.425843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437702178955078 y=0.651905059814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437702178955078 × 217)
    floor (0.437702178955078 × 131072)
    floor (57370.5)     		tx = 57370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651905059814453 × 217)
    floor (0.651905059814453 × 131072)
    floor (85446.5)     		ty = 85446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57370 / 85446 ti = "17/57370/85446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57370/85446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57370 ÷ 217
    57370 ÷ 131072     		x = 0.437698364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85446 ÷ 217
    85446 ÷ 131072     		y = 0.651901245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437698364257812 × 2 - 1) × π
    -0.124603271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39145272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651901245117188 × 2 - 1) × π
    -0.303802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.954423671435318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39145272} λ = -0.39145272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954423671435318))-π/2
    2×atan(0.385033986704765)-π/2
    2×0.367538441185843-π/2
    0.735076882371686-1.57079632675     		φ = -0.83571944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39145272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.428589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83571944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.883197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57370 KachelY 85446 -0.39145272 -0.83571944 -22.428589 -47.883197
    Oben rechts KachelX + 1 57371 KachelY 85446 -0.39140479 -0.83571944 -22.425843 -47.883197
    Unten links KachelX 57370 KachelY + 1 85447 -0.39145272 -0.83575159 -22.428589 -47.885039
    Unten rechts KachelX + 1 57371 KachelY + 1 85447 -0.39140479 -0.83575159 -22.425843 -47.885039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83571944--0.83575159) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dl = 204.827650000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83571944--0.83575159) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dr = 204.827650000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39145272--0.39140479) × cos(-0.83571944) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.670644190644718 × 6371000     		do = 204.789271462866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39145272--0.39140479) × cos(-0.83575159) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.670620342097106 × 6371000     		du = 204.781989021955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83571944)-sin(-0.83575159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670644190644718-0.670620342097106)×R²
    abs(-0.39140479--0.39145272)×2.38485476123929e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38485476123929e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38485476123929e-05×40589641000000     		ar = 41945.7593999846m²