Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57369 / 87034
↖ ↑ ↗
← S 50.726024°
W 22.431335°		 ← 193.34 m → S 50.726024°
W 22.428589°		 →
↑
193.36 m
↓
↑
193.36 m
↓
S 50.727763°
W 22.431335°		 ← 193.34 m →
37 384 m²		 S 50.727763°
W 22.428589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437694549560547 y=0.664020538330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437694549560547 × 217)
    floor (0.437694549560547 × 131072)
    floor (57369.5)     		tx = 57369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664020538330078 × 217)
    floor (0.664020538330078 × 131072)
    floor (87034.5)     		ty = 87034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57369 / 87034 ti = "17/57369/87034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57369/87034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57369 ÷ 217
    57369 ÷ 131072     		x = 0.437690734863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87034 ÷ 217
    87034 ÷ 131072     		y = 0.664016723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437690734863281 × 2 - 1) × π
    -0.124618530273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.39150066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664016723632812 × 2 - 1) × π
    -0.328033447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03054746803197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39150066} λ = -0.39150066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03054746803197))-π/2
    2×atan(0.356811564162569)-π/2
    2×0.342730093195662-π/2
    0.685460186391325-1.57079632675     		φ = -0.88533614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39150066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.431335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88533614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.726024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57369 KachelY 87034 -0.39150066 -0.88533614 -22.431335 -50.726024
    Oben rechts KachelX + 1 57370 KachelY 87034 -0.39145272 -0.88533614 -22.428589 -50.726024
    Unten links KachelX 57369 KachelY + 1 87035 -0.39150066 -0.88536649 -22.431335 -50.727763
    Unten rechts KachelX + 1 57370 KachelY + 1 87035 -0.39145272 -0.88536649 -22.428589 -50.727763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88533614--0.88536649) × R
    3.03499999999568e-05 × 6371000     		dl = 193.359849999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88533614--0.88536649) × R
    3.03499999999568e-05 × 6371000     		dr = 193.359849999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39150066--0.39145272) × cos(-0.88533614) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633029321931819 × 6371000     		do = 193.343449092821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39150066--0.39145272) × cos(-0.88536649) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633005826861017 × 6371000     		du = 193.336273093435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88533614)-sin(-0.88536649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633029321931819-0.633005826861017)×R²
    abs(-0.39145272--0.39150066)×2.34950708013493e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34950708013493e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34950708013493e-05×40589641000000     		ar = 37384.1665426323m²