Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57366 / 84791
↖ ↑ ↗
← S 46.662632°
W 22.439575°		 ← 209.61 m → S 46.662632°
W 22.436828°		 →
↑
209.61 m
↓
↑
209.61 m
↓
S 46.664517°
W 22.439575°		 ← 209.60 m →
43 935 m²		 S 46.664517°
W 22.436828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437671661376953 y=0.646907806396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437671661376953 × 217)
    floor (0.437671661376953 × 131072)
    floor (57366.5)     		tx = 57366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646907806396484 × 217)
    floor (0.646907806396484 × 131072)
    floor (84791.5)     		ty = 84791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57366 / 84791 ti = "17/57366/84791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57366/84791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57366 ÷ 217
    57366 ÷ 131072     		x = 0.437667846679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84791 ÷ 217
    84791 ÷ 131072     		y = 0.646903991699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437667846679688 × 2 - 1) × π
    -0.124664306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39164447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646903991699219 × 2 - 1) × π
    -0.293807983398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.923025002184181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39164447} λ = -0.39164447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.923025002184181))-π/2
    2×atan(0.397315341629421)-π/2
    2×0.378189876100302-π/2
    0.756379752200603-1.57079632675     		φ = -0.81441657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39164447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.439575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81441657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.662632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57366 KachelY 84791 -0.39164447 -0.81441657 -22.439575 -46.662632
    Oben rechts KachelX + 1 57367 KachelY 84791 -0.39159653 -0.81441657 -22.436828 -46.662632
    Unten links KachelX 57366 KachelY + 1 84792 -0.39164447 -0.81444947 -22.439575 -46.664517
    Unten rechts KachelX + 1 57367 KachelY + 1 84792 -0.39159653 -0.81444947 -22.436828 -46.664517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81441657--0.81444947) × R
    3.29000000000024e-05 × 6371000     		dl = 209.605900000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81441657--0.81444947) × R
    3.29000000000024e-05 × 6371000     		dr = 209.605900000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39164447--0.39159653) × cos(-0.81441657) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.68629285364708 × 6371000     		do = 209.611502681976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39164447--0.39159653) × cos(-0.81444947) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.686268924272678 × 6371000     		du = 209.604194035092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81441657)-sin(-0.81444947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68629285364708-0.686268924272678)×R²
    abs(-0.39159653--0.39164447)×2.39293744017655e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39293744017655e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39293744017655e-05×40589641000000     		ar = 43935.0417061295m²