Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57365 / 84824
↖ ↑ ↗
← S 46.724800°
W 22.442322°		 ← 209.37 m → S 46.724800°
W 22.439575°		 →
↑
209.35 m
↓
↑
209.35 m
↓
S 46.726683°
W 22.442322°		 ← 209.36 m →
43 831 m²		 S 46.726683°
W 22.439575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437664031982422 y=0.647159576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437664031982422 × 217)
    floor (0.437664031982422 × 131072)
    floor (57365.5)     		tx = 57365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647159576416016 × 217)
    floor (0.647159576416016 × 131072)
    floor (84824.5)     		ty = 84824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57365 / 84824 ti = "17/57365/84824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57365/84824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57365 ÷ 217
    57365 ÷ 131072     		x = 0.437660217285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84824 ÷ 217
    84824 ÷ 131072     		y = 0.64715576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437660217285156 × 2 - 1) × π
    -0.124679565429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39169241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64715576171875 × 2 - 1) × π
    -0.2943115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.924606919871643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39169241} λ = -0.39169241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924606919871643))-π/2
    2×atan(0.396687318334544)-π/2
    2×0.377647358968995-π/2
    0.75529471793799-1.57079632675     		φ = -0.81550161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39169241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.442322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81550161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.724800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57365 KachelY 84824 -0.39169241 -0.81550161 -22.442322 -46.724800
    Oben rechts KachelX + 1 57366 KachelY 84824 -0.39164447 -0.81550161 -22.439575 -46.724800
    Unten links KachelX 57365 KachelY + 1 84825 -0.39169241 -0.81553447 -22.442322 -46.726683
    Unten rechts KachelX + 1 57366 KachelY + 1 84825 -0.39164447 -0.81553447 -22.439575 -46.726683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81550161--0.81553447) × R
    3.28600000000234e-05 × 6371000     		dl = 209.351060000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81550161--0.81553447) × R
    3.28600000000234e-05 × 6371000     		dr = 209.351060000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39169241--0.39164447) × cos(-0.81550161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685503272747971 × 6371000     		do = 209.370344351334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39169241--0.39164447) × cos(-0.81553447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685479348012615 × 6371000     		du = 209.363037121333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81550161)-sin(-0.81553447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685503272747971-0.685479348012615)×R²
    abs(-0.39164447--0.39169241)×2.39247353563954e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39247353563954e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39247353563954e-05×40589641000000     		ar = 43831.1386382685m²