Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57363 / 87055
↖ ↑ ↗
← S 50.762522°
W 22.447815°		 ← 193.19 m → S 50.762522°
W 22.445068°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
S 50.764259°
W 22.447815°		 ← 193.19 m →
37 318 m²		 S 50.764259°
W 22.445068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437648773193359 y=0.664180755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437648773193359 × 217)
    floor (0.437648773193359 × 131072)
    floor (57363.5)     		tx = 57363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664180755615234 × 217)
    floor (0.664180755615234 × 131072)
    floor (87055.5)     		ty = 87055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57363 / 87055 ti = "17/57363/87055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57363/87055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57363 ÷ 217
    57363 ÷ 131072     		x = 0.437644958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87055 ÷ 217
    87055 ÷ 131072     		y = 0.664176940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437644958496094 × 2 - 1) × π
    -0.124710083007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.39178828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664176940917969 × 2 - 1) × π
    -0.328353881835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.03155414292399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39178828} λ = -0.39178828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03155414292399))-π/2
    2×atan(0.356452551654502)-π/2
    2×0.34241158997533-π/2
    0.68482317995066-1.57079632675     		φ = -0.88597315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39178828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.447815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88597315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.762522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57363 KachelY 87055 -0.39178828 -0.88597315 -22.447815 -50.762522
    Oben rechts KachelX + 1 57364 KachelY 87055 -0.39174034 -0.88597315 -22.445068 -50.762522
    Unten links KachelX 57363 KachelY + 1 87056 -0.39178828 -0.88600347 -22.447815 -50.764259
    Unten rechts KachelX + 1 57364 KachelY + 1 87056 -0.39174034 -0.88600347 -22.445068 -50.764259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88597315--0.88600347) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88597315--0.88600347) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39178828--0.39174034) × cos(-0.88597315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632536066368382 × 6371000     		do = 193.192796147125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39178828--0.39174034) × cos(-0.88600347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632512582300562 × 6371000     		du = 193.185623508333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88597315)-sin(-0.88600347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632536066368382-0.632512582300562)×R²
    abs(-0.39174034--0.39178828)×2.34840678199344e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34840678199344e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34840678199344e-05×40589641000000     		ar = 37318.1123830833m²