Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57363 / 84833
↖ ↑ ↗
← S 46.741743°
W 22.447815°		 ← 209.30 m → S 46.741743°
W 22.445068°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
S 46.743625°
W 22.447815°		 ← 209.30 m →
43 804 m²		 S 46.743625°
W 22.445068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437648773193359 y=0.647228240966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437648773193359 × 217)
    floor (0.437648773193359 × 131072)
    floor (57363.5)     		tx = 57363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647228240966797 × 217)
    floor (0.647228240966797 × 131072)
    floor (84833.5)     		ty = 84833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57363 / 84833 ti = "17/57363/84833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57363/84833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57363 ÷ 217
    57363 ÷ 131072     		x = 0.437644958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84833 ÷ 217
    84833 ÷ 131072     		y = 0.647224426269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437644958496094 × 2 - 1) × π
    -0.124710083007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.39178828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647224426269531 × 2 - 1) × π
    -0.294448852539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.925038351968224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39178828} λ = -0.39178828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.925038351968224))-π/2
    2×atan(0.396516211606229)-π/2
    2×0.377499508136002-π/2
    0.754999016272003-1.57079632675     		φ = -0.81579731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39178828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.447815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81579731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.741743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57363 KachelY 84833 -0.39178828 -0.81579731 -22.447815 -46.741743
    Oben rechts KachelX + 1 57364 KachelY 84833 -0.39174034 -0.81579731 -22.445068 -46.741743
    Unten links KachelX 57363 KachelY + 1 84834 -0.39178828 -0.81583016 -22.447815 -46.743625
    Unten rechts KachelX + 1 57364 KachelY + 1 84834 -0.39174034 -0.81583016 -22.445068 -46.743625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81579731--0.81583016) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dl = 209.287349999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81579731--0.81583016) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dr = 209.287349999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39178828--0.39174034) × cos(-0.81579731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685287952616826 × 6371000     		do = 209.304580040942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39178828--0.39174034) × cos(-0.81583016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685264028504748 × 6371000     		du = 209.297273001307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81579731)-sin(-0.81583016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685287952616826-0.685264028504748)×R²
    abs(-0.39174034--0.39178828)×2.39241120777445e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39241120777445e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39241120777445e-05×40589641000000     		ar = 43804.0362680777m²