Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57363 / 42419
↖ ↑ ↗
← N 53.456985°
W 22.447815°		 ← 181.86 m → N 53.456985°
W 22.445068°		 →
↑
181.83 m
↓
↑
181.83 m
↓
N 53.455349°
W 22.447815°		 ← 181.87 m →
33 068 m²		 N 53.455349°
W 22.445068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437648773193359 y=0.323635101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437648773193359 × 217)
    floor (0.437648773193359 × 131072)
    floor (57363.5)     		tx = 57363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323635101318359 × 217)
    floor (0.323635101318359 × 131072)
    floor (42419.5)     		ty = 42419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57363 / 42419 ti = "17/57363/42419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57363/42419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57363 ÷ 217
    57363 ÷ 131072     		x = 0.437644958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42419 ÷ 217
    42419 ÷ 131072     		y = 0.323631286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437644958496094 × 2 - 1) × π
    -0.124710083007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.39178828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323631286621094 × 2 - 1) × π
    0.352737426757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.10815730851684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39178828} λ = -0.39178828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10815730851684))-π/2
    2×atan(3.0287721565026)-π/2
    2×1.25189835773479-π/2
    2.50379671546957-1.57079632675     		φ = 0.93300039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39178828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.447815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93300039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.456985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57363 KachelY 42419 -0.39178828 0.93300039 -22.447815 53.456985
    Oben rechts KachelX + 1 57364 KachelY 42419 -0.39174034 0.93300039 -22.445068 53.456985
    Unten links KachelX 57363 KachelY + 1 42420 -0.39178828 0.93297185 -22.447815 53.455349
    Unten rechts KachelX + 1 57364 KachelY + 1 42420 -0.39174034 0.93297185 -22.445068 53.455349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93300039-0.93297185) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dl = 181.828339999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93300039-0.93297185) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dr = 181.828339999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39178828--0.39174034) × cos(0.93300039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595426122491152 × 6371000     		do = 181.858464077072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39178828--0.39174034) × cos(0.93297185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59544905157191 × 6371000     		du = 181.865467208529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93300039)-sin(0.93297185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595426122491152-0.59544905157191)×R²
    abs(-0.39174034--0.39178828)×2.29290807571836e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29290807571836e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29290807571836e-05×40589641000000     		ar = 33067.6593241216m²