Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57361 / 42423
↖ ↑ ↗
← N 53.450443°
W 22.453308°		 ← 181.85 m → N 53.450443°
W 22.450562°		 →
↑
181.89 m
↓
↑
181.89 m
↓
N 53.448807°
W 22.453308°		 ← 181.86 m →
33 077 m²		 N 53.448807°
W 22.450562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437633514404297 y=0.323665618896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437633514404297 × 217)
    floor (0.437633514404297 × 131072)
    floor (57361.5)     		tx = 57361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323665618896484 × 217)
    floor (0.323665618896484 × 131072)
    floor (42423.5)     		ty = 42423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57361 / 42423 ti = "17/57361/42423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57361/42423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57361 ÷ 217
    57361 ÷ 131072     		x = 0.437629699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42423 ÷ 217
    42423 ÷ 131072     		y = 0.323661804199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437629699707031 × 2 - 1) × π
    -0.124740600585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.39188415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323661804199219 × 2 - 1) × π
    0.352676391601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.10796556091836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39188415} λ = -0.39188415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10796556091836))-π/2
    2×atan(3.02819145239133)-π/2
    2×1.25184126757297-π/2
    2.50368253514593-1.57079632675     		φ = 0.93288621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39188415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.453308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93288621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.450443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57361 KachelY 42423 -0.39188415 0.93288621 -22.453308 53.450443
    Oben rechts KachelX + 1 57362 KachelY 42423 -0.39183622 0.93288621 -22.450562 53.450443
    Unten links KachelX 57361 KachelY + 1 42424 -0.39188415 0.93285766 -22.453308 53.448807
    Unten rechts KachelX + 1 57362 KachelY + 1 42424 -0.39183622 0.93285766 -22.450562 53.448807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93288621-0.93285766) × R
    2.85500000000161e-05 × 6371000     		dl = 181.892050000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93288621-0.93285766) × R
    2.85500000000161e-05 × 6371000     		dr = 181.892050000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39188415--0.39183622) × cos(0.93288621) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.595517851970876 × 6371000     		do = 181.848540178967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39188415--0.39183622) × cos(0.93285766) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.595540787144384 × 6371000     		du = 181.855543710108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93288621)-sin(0.93285766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595517851970876-0.595540787144384)×R²
    abs(-0.39183622--0.39188415)×2.29351735077099e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29351735077099e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29351735077099e-05×40589641000000     		ar = 33077.4407083326m²