Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57360 / 42416
↖ ↑ ↗
← N 53.461890°
W 22.456055°		 ← 181.84 m → N 53.461890°
W 22.453308°		 →
↑
181.83 m
↓
↑
181.83 m
↓
N 53.460255°
W 22.456055°		 ← 181.84 m →
33 064 m²		 N 53.460255°
W 22.453308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437625885009766 y=0.323612213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437625885009766 × 217)
    floor (0.437625885009766 × 131072)
    floor (57360.5)     		tx = 57360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323612213134766 × 217)
    floor (0.323612213134766 × 131072)
    floor (42416.5)     		ty = 42416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57360 / 42416 ti = "17/57360/42416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57360/42416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57360 ÷ 217
    57360 ÷ 131072     		x = 0.4376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42416 ÷ 217
    42416 ÷ 131072     		y = 0.3236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.124755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39193209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3236083984375 × 2 - 1) × π
    0.352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1083011192157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39193209} λ = -0.39193209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1083011192157))-π/2
    2×atan(3.02920775766441)-π/2
    2×1.25194116958494-π/2
    2.50388233916989-1.57079632675     		φ = 0.93308601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39193209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.456055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93308601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.461890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57360 KachelY 42416 -0.39193209 0.93308601 -22.456055 53.461890
    Oben rechts KachelX + 1 57361 KachelY 42416 -0.39188415 0.93308601 -22.453308 53.461890
    Unten links KachelX 57360 KachelY + 1 42417 -0.39193209 0.93305747 -22.456055 53.460255
    Unten rechts KachelX + 1 57361 KachelY + 1 42417 -0.39188415 0.93305747 -22.453308 53.460255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93308601-0.93305747) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dl = 181.828339999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93308601-0.93305747) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dr = 181.828339999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39193209--0.39188415) × cos(0.93308601) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.595357332338995 × 6371000     		do = 181.837453794155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39193209--0.39188415) × cos(0.93305747) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.595380262874676 × 6371000     		du = 181.844457369984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93308601)-sin(0.93305747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595357332338995-0.595380262874676)×R²
    abs(-0.39188415--0.39193209)×2.29305356814757e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29305356814757e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29305356814757e-05×40589641000000     		ar = 33063.8390997777m²