Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57358 / 9231
↖ ↑ ↗
← N 78.044933°
E135.076904°		 ← 126.53 m → N 78.044933°
E135.082398°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
N 78.043795°
E135.076904°		 ← 126.55 m →
16 019 m²		 N 78.043795°
E135.082398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875221252441406 y=0.140861511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875221252441406 × 216)
    floor (0.875221252441406 × 65536)
    floor (57358.5)     		tx = 57358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140861511230469 × 216)
    floor (0.140861511230469 × 65536)
    floor (9231.5)     		ty = 9231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57358 / 9231 ti = "16/57358/9231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57358/9231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57358 ÷ 216
    57358 ÷ 65536     		x = 0.875213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9231 ÷ 216
    9231 ÷ 65536     		y = 0.140853881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875213623046875 × 2 - 1) × π
    0.75042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35753672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140853881835938 × 2 - 1) × π
    0.718292236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25658161271452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35753672} λ = 2.35753672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25658161271452))-π/2
    2×atan(9.55038638383514)-π/2
    2×1.46646868610215-π/2
    2.9329373722043-1.57079632675     		φ = 1.36214105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35753672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.076904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36214105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.044933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57358 KachelY 9231 2.35753672 1.36214105 135.076904 78.044933
    Oben rechts KachelX + 1 57359 KachelY 9231 2.35763260 1.36214105 135.082398 78.044933
    Unten links KachelX 57358 KachelY + 1 9232 2.35753672 1.36212118 135.076904 78.043795
    Unten rechts KachelX + 1 57359 KachelY + 1 9232 2.35763260 1.36212118 135.082398 78.043795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36214105-1.36212118) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36214105-1.36212118) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35753672-2.35763260) × cos(1.36214105) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207144530899173 × 6371000     		do = 126.534543273583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35753672-2.35763260) × cos(1.36212118) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207163969884959 × 6371000     		du = 126.54641760682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36214105)-sin(1.36212118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207144530899173-0.207163969884959)×R²
    abs(2.35763260-2.35753672)×1.94389857855748e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94389857855748e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94389857855748e-05×40589641000000     		ar = 16018.9833961416m²