Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57354 / 85018
↖ ↑ ↗
← S 47.088826°
W 22.472534°		 ← 207.91 m → S 47.088826°
W 22.469788°		 →
↑
207.95 m
↓
↑
207.95 m
↓
S 47.090696°
W 22.472534°		 ← 207.90 m →
43 234 m²		 S 47.090696°
W 22.469788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437580108642578 y=0.648639678955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437580108642578 × 217)
    floor (0.437580108642578 × 131072)
    floor (57354.5)     		tx = 57354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648639678955078 × 217)
    floor (0.648639678955078 × 131072)
    floor (85018.5)     		ty = 85018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57354 / 85018 ti = "17/57354/85018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57354/85018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57354 ÷ 217
    57354 ÷ 131072     		x = 0.437576293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85018 ÷ 217
    85018 ÷ 131072     		y = 0.648635864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437576293945312 × 2 - 1) × π
    -0.124847412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39221971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648635864257812 × 2 - 1) × π
    -0.297271728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.933906678397934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39221971} λ = -0.39221971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933906678397934))-π/2
    2×atan(0.39301532286368)-π/2
    2×0.374470639707728-π/2
    0.748941279415456-1.57079632675     		φ = -0.82185505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39221971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.472534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82185505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.088826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57354 KachelY 85018 -0.39221971 -0.82185505 -22.472534 -47.088826
    Oben rechts KachelX + 1 57355 KachelY 85018 -0.39217178 -0.82185505 -22.469788 -47.088826
    Unten links KachelX 57354 KachelY + 1 85019 -0.39221971 -0.82188769 -22.472534 -47.090696
    Unten rechts KachelX + 1 57355 KachelY + 1 85019 -0.39217178 -0.82188769 -22.469788 -47.090696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82185505--0.82188769) × R
    3.26399999999172e-05 × 6371000     		dl = 207.949439999472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82185505--0.82188769) × R
    3.26399999999172e-05 × 6371000     		dr = 207.949439999472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39221971--0.39217178) × cos(-0.82185505) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.680863722161016 × 6371000     		do = 207.90992835233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39221971--0.39217178) × cos(-0.82188769) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.68083981593184 × 6371000     		du = 207.90262829766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82185505)-sin(-0.82188769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680863722161016-0.68083981593184)×R²
    abs(-0.39217178--0.39221971)×2.39062291756964e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39062291756964e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39062291756964e-05×40589641000000     		ar = 43233.9941538977m²