Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57353 / 9173
↖ ↑ ↗
← N 78.110751°
E135.049438°		 ← 125.85 m → N 78.110751°
E135.054932°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
N 78.109619°
E135.049438°		 ← 125.86 m →
15 836 m²		 N 78.109619°
E135.054932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875144958496094 y=0.139976501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875144958496094 × 216)
    floor (0.875144958496094 × 65536)
    floor (57353.5)     		tx = 57353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139976501464844 × 216)
    floor (0.139976501464844 × 65536)
    floor (9173.5)     		ty = 9173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57353 / 9173 ti = "16/57353/9173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57353/9173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57353 ÷ 216
    57353 ÷ 65536     		x = 0.875137329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9173 ÷ 216
    9173 ÷ 65536     		y = 0.139968872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875137329101562 × 2 - 1) × π
    0.750274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35705735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139968872070312 × 2 - 1) × π
    0.720062255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26214229307045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35705735} λ = 2.35705735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26214229307045))-π/2
    2×atan(9.60364095840018)-π/2
    2×1.46704305453064-π/2
    2.93408610906128-1.57079632675     		φ = 1.36328978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35705735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.049438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36328978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.110751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57353 KachelY 9173 2.35705735 1.36328978 135.049438 78.110751
    Oben rechts KachelX + 1 57354 KachelY 9173 2.35715323 1.36328978 135.054932 78.110751
    Unten links KachelX 57353 KachelY + 1 9174 2.35705735 1.36327003 135.049438 78.109619
    Unten rechts KachelX + 1 57354 KachelY + 1 9174 2.35715323 1.36327003 135.054932 78.109619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36328978-1.36327003) × R
    1.9749999999874e-05 × 6371000     		dl = 125.827249999197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36328978-1.36327003) × R
    1.9749999999874e-05 × 6371000     		dr = 125.827249999197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35705735-2.35715323) × cos(1.36328978) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.20602058002463 × 6371000     		do = 125.847976219004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35705735-2.35715323) × cos(1.36327003) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.20603990630071 × 6371000     		du = 125.859781703351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36328978)-sin(1.36327003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20602058002463-0.20603990630071)×R²
    abs(2.35715323-2.35705735)×1.93262760801172e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.93262760801172e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.93262760801172e-05×40589641000000     		ar = 15835.8474918587m²