Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57351 / 84786
↖ ↑ ↗
← S 46.653207°
W 22.480774°		 ← 209.60 m → S 46.653207°
W 22.478028°		 →
↑
209.61 m
↓
↑
209.61 m
↓
S 46.655092°
W 22.480774°		 ← 209.60 m →
43 934 m²		 S 46.655092°
W 22.478028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437557220458984 y=0.646869659423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437557220458984 × 217)
    floor (0.437557220458984 × 131072)
    floor (57351.5)     		tx = 57351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646869659423828 × 217)
    floor (0.646869659423828 × 131072)
    floor (84786.5)     		ty = 84786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57351 / 84786 ti = "17/57351/84786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57351/84786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57351 ÷ 217
    57351 ÷ 131072     		x = 0.437553405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84786 ÷ 217
    84786 ÷ 131072     		y = 0.646865844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437553405761719 × 2 - 1) × π
    -0.124893188476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.39236352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646865844726562 × 2 - 1) × π
    -0.293731689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.922785317686081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39236352} λ = -0.39236352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.922785317686081))-π/2
    2×atan(0.397410583371195)-π/2
    2×0.378272130148027-π/2
    0.756544260296054-1.57079632675     		φ = -0.81425207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39236352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.480774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81425207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.653207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57351 KachelY 84786 -0.39236352 -0.81425207 -22.480774 -46.653207
    Oben rechts KachelX + 1 57352 KachelY 84786 -0.39231559 -0.81425207 -22.478028 -46.653207
    Unten links KachelX 57351 KachelY + 1 84787 -0.39236352 -0.81428497 -22.480774 -46.655092
    Unten rechts KachelX + 1 57352 KachelY + 1 84787 -0.39231559 -0.81428497 -22.478028 -46.655092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81425207--0.81428497) × R
    3.29000000000024e-05 × 6371000     		dl = 209.605900000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81425207--0.81428497) × R
    3.29000000000024e-05 × 6371000     		dr = 209.605900000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39236352--0.39231559) × cos(-0.81425207) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.686412489375817 × 6371000     		do = 209.604311173281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39236352--0.39231559) × cos(-0.81428497) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.686388563715925 × 6371000     		du = 209.597005185208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81425207)-sin(-0.81428497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686412489375817-0.686388563715925)×R²
    abs(-0.39231559--0.39236352)×2.39256598915105e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39256598915105e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39256598915105e-05×40589641000000     		ar = 43933.5346021209m²