Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57350 / 84758
↖ ↑ ↗
← S 46.600393°
W 22.483520°		 ← 209.85 m → S 46.600393°
W 22.480774°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
S 46.602280°
W 22.483520°		 ← 209.85 m →
44 039 m²		 S 46.602280°
W 22.480774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437549591064453 y=0.646656036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437549591064453 × 217)
    floor (0.437549591064453 × 131072)
    floor (57350.5)     		tx = 57350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646656036376953 × 217)
    floor (0.646656036376953 × 131072)
    floor (84758.5)     		ty = 84758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57350 / 84758 ti = "17/57350/84758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57350/84758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57350 ÷ 217
    57350 ÷ 131072     		x = 0.437545776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84758 ÷ 217
    84758 ÷ 131072     		y = 0.646652221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437545776367188 × 2 - 1) × π
    -0.124908447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39241146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646652221679688 × 2 - 1) × π
    -0.293304443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.921443084496719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39241146} λ = -0.39241146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.921443084496719))-π/2
    2×atan(0.397944359191674)-π/2
    2×0.378733017793936-π/2
    0.757466035587873-1.57079632675     		φ = -0.81333029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39241146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.483520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81333029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.600393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57350 KachelY 84758 -0.39241146 -0.81333029 -22.483520 -46.600393
    Oben rechts KachelX + 1 57351 KachelY 84758 -0.39236352 -0.81333029 -22.480774 -46.600393
    Unten links KachelX 57350 KachelY + 1 84759 -0.39241146 -0.81336323 -22.483520 -46.602280
    Unten rechts KachelX + 1 57351 KachelY + 1 84759 -0.39236352 -0.81336323 -22.480774 -46.602280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81333029--0.81336323) × R
    3.29399999999813e-05 × 6371000     		dl = 209.860739999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81333029--0.81336323) × R
    3.29399999999813e-05 × 6371000     		dr = 209.860739999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39241146--0.39236352) × cos(-0.81333029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687082527524555 × 6371000     		do = 209.85268941012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39241146--0.39236352) × cos(-0.81336323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687058593626913 × 6371000     		du = 209.845379381722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81333029)-sin(-0.81336323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687082527524555-0.687058593626913)×R²
    abs(-0.39236352--0.39241146)×2.39338976418813e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39338976418813e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39338976418813e-05×40589641000000     		ar = 44039.073650456m²