Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57344 / 84799
↖ ↑ ↗
← S 46.677710°
W 22.500000°		 ← 209.55 m → S 46.677710°
W 22.497253°		 →
↑
209.54 m
↓
↑
209.54 m
↓
S 46.679595°
W 22.500000°		 ← 209.55 m →
43 909 m²		 S 46.679595°
W 22.497253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437503814697266 y=0.646968841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437503814697266 × 217)
    floor (0.437503814697266 × 131072)
    floor (57344.5)     		tx = 57344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646968841552734 × 217)
    floor (0.646968841552734 × 131072)
    floor (84799.5)     		ty = 84799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57344 / 84799 ti = "17/57344/84799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57344/84799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57344 ÷ 217
    57344 ÷ 131072     		x = 0.4375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84799 ÷ 217
    84799 ÷ 131072     		y = 0.646965026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4375 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646965026855469 × 2 - 1) × π
    -0.293930053710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.923408497381142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39269908} λ = -0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.923408497381142))-π/2
    2×atan(0.397163002316792)-π/2
    2×0.378058299446833-π/2
    0.756116598893666-1.57079632675     		φ = -0.81467973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81467973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.677710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57344 KachelY 84799 -0.39269908 -0.81467973 -22.500000 -46.677710
    Oben rechts KachelX + 1 57345 KachelY 84799 -0.39265114 -0.81467973 -22.497253 -46.677710
    Unten links KachelX 57344 KachelY + 1 84800 -0.39269908 -0.81471262 -22.500000 -46.679595
    Unten rechts KachelX + 1 57345 KachelY + 1 84800 -0.39265114 -0.81471262 -22.497253 -46.679595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81467973--0.81471262) × R
    3.28899999999521e-05 × 6371000     		dl = 209.542189999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81467973--0.81471262) × R
    3.28899999999521e-05 × 6371000     		dr = 209.542189999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39269908--0.39265114) × cos(-0.81467973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686101426954471 × 6371000     		do = 209.553036042488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39269908--0.39265114) × cos(-0.81471262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686077498914387 × 6371000     		du = 209.545727803139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81467973)-sin(-0.81471262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686101426954471-0.686077498914387)×R²
    abs(-0.39265114--0.39269908)×2.3928040083554e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3928040083554e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3928040083554e-05×40589641000000     		ar = 43909.4364052213m²