Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57343 / 84917
↖ ↑ ↗
← S 46.899616°
W 22.502747°		 ← 208.69 m → S 46.899616°
W 22.500000°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
S 46.901493°
W 22.502747°		 ← 208.68 m →
43 556 m²		 S 46.901493°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437496185302734 y=0.647869110107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437496185302734 × 217)
    floor (0.437496185302734 × 131072)
    floor (57343.5)     		tx = 57343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647869110107422 × 217)
    floor (0.647869110107422 × 131072)
    floor (84917.5)     		ty = 84917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57343 / 84917 ti = "17/57343/84917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57343/84917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57343 ÷ 217
    57343 ÷ 131072     		x = 0.437492370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84917 ÷ 217
    84917 ÷ 131072     		y = 0.647865295410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437492370605469 × 2 - 1) × π
    -0.125015258789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.39274702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647865295410156 × 2 - 1) × π
    -0.295730590820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.929065051536308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39274702} λ = -0.39274702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.929065051536308))-π/2
    2×atan(0.394922770256059)-π/2
    2×0.376121806597738-π/2
    0.752243613195476-1.57079632675     		φ = -0.81855271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39274702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.502747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81855271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.899616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57343 KachelY 84917 -0.39274702 -0.81855271 -22.502747 -46.899616
    Oben rechts KachelX + 1 57344 KachelY 84917 -0.39269908 -0.81855271 -22.500000 -46.899616
    Unten links KachelX 57343 KachelY + 1 84918 -0.39274702 -0.81858547 -22.502747 -46.901493
    Unten rechts KachelX + 1 57344 KachelY + 1 84918 -0.39269908 -0.81858547 -22.500000 -46.901493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81855271--0.81858547) × R
    3.27600000000761e-05 × 6371000     		dl = 208.713960000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81855271--0.81858547) × R
    3.27600000000761e-05 × 6371000     		dr = 208.713960000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39274702--0.39269908) × cos(-0.81855271) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683278672459463 × 6371000     		do = 208.690894162254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39274702--0.39269908) × cos(-0.81858547) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683254752126812 × 6371000     		du = 208.683588276953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81855271)-sin(-0.81858547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683278672459463-0.683254752126812)×R²
    abs(-0.39269908--0.39274702)×2.39203326519721e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39203326519721e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39203326519721e-05×40589641000000     		ar = 43555.9405203658m²