Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57342 / 9122
↖ ↑ ↗
← N 78.168330°
E134.989014°		 ← 125.25 m → N 78.168330°
E134.994507°		 →
↑
125.25 m
↓
↑
125.25 m
↓
N 78.167204°
E134.989014°		 ← 125.26 m →
15 688 m²		 N 78.167204°
E134.994507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874977111816406 y=0.139198303222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874977111816406 × 216)
    floor (0.874977111816406 × 65536)
    floor (57342.5)     		tx = 57342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139198303222656 × 216)
    floor (0.139198303222656 × 65536)
    floor (9122.5)     		ty = 9122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57342 / 9122 ti = "16/57342/9122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57342/9122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57342 ÷ 216
    57342 ÷ 65536     		x = 0.874969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9122 ÷ 216
    9122 ÷ 65536     		y = 0.139190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874969482421875 × 2 - 1) × π
    0.74993896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35600274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139190673828125 × 2 - 1) × π
    0.72161865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2670318568317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35600274} λ = 2.35600274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2670318568317))-π/2
    2×atan(9.65071356167031)-π/2
    2×1.46754552678058-π/2
    2.93509105356116-1.57079632675     		φ = 1.36429473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35600274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.989014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36429473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.168330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57342 KachelY 9122 2.35600274 1.36429473 134.989014 78.168330
    Oben rechts KachelX + 1 57343 KachelY 9122 2.35609862 1.36429473 134.994507 78.168330
    Unten links KachelX 57342 KachelY + 1 9123 2.35600274 1.36427507 134.989014 78.167204
    Unten rechts KachelX + 1 57343 KachelY + 1 9123 2.35609862 1.36427507 134.994507 78.167204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36429473-1.36427507) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dl = 125.253859999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36429473-1.36427507) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dr = 125.253859999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35600274-2.35609862) × cos(1.36429473) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.205037084687805 × 6371000     		do = 125.247206636349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35600274-2.35609862) × cos(1.36427507) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20505632695585 × 6371000     		du = 125.258960804263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36429473)-sin(1.36427507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205037084687805-0.20505632695585)×R²
    abs(2.35609862-2.35600274)×1.92422680450055e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.92422680450055e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.92422680450055e-05×40589641000000     		ar = 15688.4322132539m²