Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57341 / 84796
↖ ↑ ↗
← S 46.672056°
W 22.508240°		 ← 209.53 m → S 46.672056°
W 22.505493°		 →
↑
209.61 m
↓
↑
209.61 m
↓
S 46.673941°
W 22.508240°		 ← 209.52 m →
43 918 m²		 S 46.673941°
W 22.505493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437480926513672 y=0.646945953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437480926513672 × 217)
    floor (0.437480926513672 × 131072)
    floor (57341.5)     		tx = 57341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646945953369141 × 217)
    floor (0.646945953369141 × 131072)
    floor (84796.5)     		ty = 84796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57341 / 84796 ti = "17/57341/84796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57341/84796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57341 ÷ 217
    57341 ÷ 131072     		x = 0.437477111816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84796 ÷ 217
    84796 ÷ 131072     		y = 0.646942138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437477111816406 × 2 - 1) × π
    -0.125045776367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.39284289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646942138671875 × 2 - 1) × π
    -0.29388427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.923264686682281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39284289} λ = -0.39284289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.923264686682281))-π/2
    2×atan(0.39722012271288)-π/2
    2×0.37810763639056-π/2
    0.75621527278112-1.57079632675     		φ = -0.81458105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39284289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.508240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81458105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.672056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57341 KachelY 84796 -0.39284289 -0.81458105 -22.508240 -46.672056
    Oben rechts KachelX + 1 57342 KachelY 84796 -0.39279496 -0.81458105 -22.505493 -46.672056
    Unten links KachelX 57341 KachelY + 1 84797 -0.39284289 -0.81461395 -22.508240 -46.673941
    Unten rechts KachelX + 1 57342 KachelY + 1 84797 -0.39279496 -0.81461395 -22.505493 -46.673941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81458105--0.81461395) × R
    3.29000000000024e-05 × 6371000     		dl = 209.605900000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81458105--0.81461395) × R
    3.29000000000024e-05 × 6371000     		dr = 209.605900000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39284289--0.39279496) × cos(-0.81458105) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.68617321389585 × 6371000     		do = 209.531245526747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39284289--0.39279496) × cos(-0.81461395) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.686149280808037 × 6371000     		du = 209.523937270468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81458105)-sin(-0.81461395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68617321389585-0.686149280808037)×R²
    abs(-0.39279496--0.39284289)×2.39330878128996e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39330878128996e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39330878128996e-05×40589641000000     		ar = 43918.219374002m²