Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57339 / 85017
↖ ↑ ↗
← S 47.086956°
W 22.513733°		 ← 207.96 m → S 47.086956°
W 22.510986°		 →
↑
207.95 m
↓
↑
207.95 m
↓
S 47.088826°
W 22.513733°		 ← 207.95 m →
43 245 m²		 S 47.088826°
W 22.510986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437465667724609 y=0.648632049560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437465667724609 × 217)
    floor (0.437465667724609 × 131072)
    floor (57339.5)     		tx = 57339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648632049560547 × 217)
    floor (0.648632049560547 × 131072)
    floor (85017.5)     		ty = 85017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57339 / 85017 ti = "17/57339/85017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57339/85017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57339 ÷ 217
    57339 ÷ 131072     		x = 0.437461853027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85017 ÷ 217
    85017 ÷ 131072     		y = 0.648628234863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437461853027344 × 2 - 1) × π
    -0.125076293945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.39293877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648628234863281 × 2 - 1) × π
    -0.297256469726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.933858741498314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39293877} λ = -0.39293877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933858741498314))-π/2
    2×atan(0.393034163251332)-π/2
    2×0.374486959242207-π/2
    0.748973918484413-1.57079632675     		φ = -0.82182241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39293877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.513733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82182241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.086956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57339 KachelY 85017 -0.39293877 -0.82182241 -22.513733 -47.086956
    Oben rechts KachelX + 1 57340 KachelY 85017 -0.39289083 -0.82182241 -22.510986 -47.086956
    Unten links KachelX 57339 KachelY + 1 85018 -0.39293877 -0.82185505 -22.513733 -47.088826
    Unten rechts KachelX + 1 57340 KachelY + 1 85018 -0.39289083 -0.82185505 -22.510986 -47.088826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82182241--0.82185505) × R
    3.26400000000282e-05 × 6371000     		dl = 207.94944000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82182241--0.82185505) × R
    3.26400000000282e-05 × 6371000     		dr = 207.94944000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39293877--0.39289083) × cos(-0.82182241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68088762766482 × 6371000     		do = 207.960607536236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39293877--0.39289083) × cos(-0.82185505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680863722161016 × 6371000     		du = 207.953306180046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82182241)-sin(-0.82185505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68088762766482-0.680863722161016)×R²
    abs(-0.39289083--0.39293877)×2.39055038043778e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39055038043778e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39055038043778e-05×40589641000000     		ar = 43244.5327265233m²