Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57338 / 9089
↖ ↑ ↗
← N 78.205441°
E134.967041°		 ← 124.85 m → N 78.205441°
E134.972534°		 →
↑
124.87 m
↓
↑
124.87 m
↓
N 78.204318°
E134.967041°		 ← 124.86 m →
15 591 m²		 N 78.204318°
E134.972534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874916076660156 y=0.138694763183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874916076660156 × 216)
    floor (0.874916076660156 × 65536)
    floor (57338.5)     		tx = 57338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138694763183594 × 216)
    floor (0.138694763183594 × 65536)
    floor (9089.5)     		ty = 9089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57338 / 9089 ti = "16/57338/9089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57338/9089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57338 ÷ 216
    57338 ÷ 65536     		x = 0.874908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9089 ÷ 216
    9089 ÷ 65536     		y = 0.138687133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874908447265625 × 2 - 1) × π
    0.74981689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35561925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138687133789062 × 2 - 1) × π
    0.722625732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27019569220662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35561925} λ = 2.35561925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27019569220662))-π/2
    2×atan(9.68129518272744)-π/2
    2×1.46786937687508-π/2
    2.93573875375015-1.57079632675     		φ = 1.36494243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35561925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.967041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36494243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.205441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57338 KachelY 9089 2.35561925 1.36494243 134.967041 78.205441
    Oben rechts KachelX + 1 57339 KachelY 9089 2.35571512 1.36494243 134.972534 78.205441
    Unten links KachelX 57338 KachelY + 1 9090 2.35561925 1.36492283 134.967041 78.204318
    Unten rechts KachelX + 1 57339 KachelY + 1 9090 2.35571512 1.36492283 134.972534 78.204318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36494243-1.36492283) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dl = 124.871599999347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36494243-1.36492283) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dr = 124.871599999347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35561925-2.35571512) × cos(1.36494243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204403102625424 × 6371000     		do = 124.846915233661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35561925-2.35571512) × cos(1.36492283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204422288767485 × 6371000     		du = 124.858633894586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36494243)-sin(1.36492283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204403102625424-0.204422288767485)×R²
    abs(2.35571512-2.35561925)×1.91861420612005e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91861420612005e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91861420612005e-05×40589641000000     		ar = 15590.5657244345m²