Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57337 / 9091
↖ ↑ ↗
← N 78.203195°
E134.961548°		 ← 124.88 m → N 78.203195°
E134.967041°		 →
↑
124.87 m
↓
↑
124.87 m
↓
N 78.202072°
E134.961548°		 ← 124.90 m →
15 595 m²		 N 78.202072°
E134.967041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874900817871094 y=0.138725280761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874900817871094 × 216)
    floor (0.874900817871094 × 65536)
    floor (57337.5)     		tx = 57337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138725280761719 × 216)
    floor (0.138725280761719 × 65536)
    floor (9091.5)     		ty = 9091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57337 / 9091 ti = "16/57337/9091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57337/9091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57337 ÷ 216
    57337 ÷ 65536     		x = 0.874893188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9091 ÷ 216
    9091 ÷ 65536     		y = 0.138717651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874893188476562 × 2 - 1) × π
    0.749786376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35552337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138717651367188 × 2 - 1) × π
    0.722564697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27000394460814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35552337} λ = 2.35552337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27000394460814))-π/2
    2×atan(9.67943899559138)-π/2
    2×1.46784977813349-π/2
    2.93569955626699-1.57079632675     		φ = 1.36490323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35552337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.961548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36490323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.203195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57337 KachelY 9091 2.35552337 1.36490323 134.961548 78.203195
    Oben rechts KachelX + 1 57338 KachelY 9091 2.35561925 1.36490323 134.967041 78.203195
    Unten links KachelX 57337 KachelY + 1 9092 2.35552337 1.36488363 134.961548 78.202072
    Unten rechts KachelX + 1 57338 KachelY + 1 9092 2.35561925 1.36488363 134.967041 78.202072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36490323-1.36488363) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dl = 124.871599999347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36490323-1.36488363) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dr = 124.871599999347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35552337-2.35561925) × cos(1.36490323) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.204441474831016 × 6371000     		do = 124.883377474405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35552337-2.35561925) × cos(1.36488363) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.204460660816008 × 6371000     		du = 124.895097261733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36490323)-sin(1.36488363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204441474831016-0.204460660816008)×R²
    abs(2.35561925-2.35552337)×1.91859849920928e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.91859849920928e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.91859849920928e-05×40589641000000     		ar = 15595.1188936537m²