Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57336 / 85019
↖ ↑ ↗
← S 47.090696°
W 22.521973°		 ← 207.95 m → S 47.090696°
W 22.519226°		 →
↑
207.89 m
↓
↑
207.89 m
↓
S 47.092565°
W 22.521973°		 ← 207.94 m →
43 228 m²		 S 47.092565°
W 22.519226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437442779541016 y=0.648647308349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437442779541016 × 217)
    floor (0.437442779541016 × 131072)
    floor (57336.5)     		tx = 57336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648647308349609 × 217)
    floor (0.648647308349609 × 131072)
    floor (85019.5)     		ty = 85019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57336 / 85019 ti = "17/57336/85019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57336/85019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57336 ÷ 217
    57336 ÷ 131072     		x = 0.43743896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85019 ÷ 217
    85019 ÷ 131072     		y = 0.648643493652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43743896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1251220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39308258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648643493652344 × 2 - 1) × π
    -0.297286987304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.933954615297554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39308258} λ = -0.39308258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933954615297554))-π/2
    2×atan(0.392996483379155)-π/2
    2×0.37445432074621-π/2
    0.748908641492419-1.57079632675     		φ = -0.82188769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39308258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.521973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82188769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.090696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57336 KachelY 85019 -0.39308258 -0.82188769 -22.521973 -47.090696
    Oben rechts KachelX + 1 57337 KachelY 85019 -0.39303464 -0.82188769 -22.519226 -47.090696
    Unten links KachelX 57336 KachelY + 1 85020 -0.39308258 -0.82192032 -22.521973 -47.092565
    Unten rechts KachelX + 1 57337 KachelY + 1 85020 -0.39303464 -0.82192032 -22.519226 -47.092565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82188769--0.82192032) × R
    3.2630000000089e-05 × 6371000     		dl = 207.885730000567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82188769--0.82192032) × R
    3.2630000000089e-05 × 6371000     		dr = 207.885730000567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39308258--0.39303464) × cos(-0.82188769) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.68083981593184 × 6371000     		do = 207.946004602551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39308258--0.39303464) × cos(-0.82192032) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.680815916301864 × 6371000     		du = 207.938705040379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82188769)-sin(-0.82192032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68083981593184-0.680815916301864)×R²
    abs(-0.39303464--0.39308258)×2.38996299762873e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38996299762873e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38996299762873e-05×40589641000000     		ar = 43228.2482338996m²