Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57334 / 42452
↖ ↑ ↗
← N 53.402982°
W 22.527466°		 ← 182.09 m → N 53.402982°
W 22.524719°		 →
↑
182.02 m
↓
↑
182.02 m
↓
N 53.401345°
W 22.527466°		 ← 182.10 m →
33 145 m²		 N 53.401345°
W 22.524719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437427520751953 y=0.323886871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437427520751953 × 217)
    floor (0.437427520751953 × 131072)
    floor (57334.5)     		tx = 57334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323886871337891 × 217)
    floor (0.323886871337891 × 131072)
    floor (42452.5)     		ty = 42452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57334 / 42452 ti = "17/57334/42452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57334/42452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57334 ÷ 217
    57334 ÷ 131072     		x = 0.437423706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42452 ÷ 217
    42452 ÷ 131072     		y = 0.323883056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437423706054688 × 2 - 1) × π
    -0.125152587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39317845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323883056640625 × 2 - 1) × π
    0.35223388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10657539082938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39317845} λ = -0.39317845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10657539082938))-π/2
    2×atan(3.02398467595539)-π/2
    2×1.25142710084278-π/2
    2.50285420168556-1.57079632675     		φ = 0.93205787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39317845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.527466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93205787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.402982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57334 KachelY 42452 -0.39317845 0.93205787 -22.527466 53.402982
    Oben rechts KachelX + 1 57335 KachelY 42452 -0.39313051 0.93205787 -22.524719 53.402982
    Unten links KachelX 57334 KachelY + 1 42453 -0.39317845 0.93202930 -22.527466 53.401345
    Unten rechts KachelX + 1 57335 KachelY + 1 42453 -0.39313051 0.93202930 -22.524719 53.401345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93205787-0.93202930) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dl = 182.019470000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93205787-0.93202930) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dr = 182.019470000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39317845--0.39313051) × cos(0.93205787) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596183087961991 × 6371000     		do = 182.089660816368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39317845--0.39313051) × cos(0.93202930) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596206025100525 × 6371000     		du = 182.096666408878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93205787)-sin(0.93202930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596183087961991-0.596206025100525)×R²
    abs(-0.39313051--0.39317845)×2.29371385339627e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29371385339627e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29371385339627e-05×40589641000000     		ar = 33144.5011336105m²