Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57333 / 9114
↖ ↑ ↗
← N 78.177337°
E134.939575°		 ← 125.14 m → N 78.177337°
E134.945068°		 →
↑
125.13 m
↓
↑
125.13 m
↓
N 78.176212°
E134.939575°		 ← 125.15 m →
15 659 m²		 N 78.176212°
E134.945068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874839782714844 y=0.139076232910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874839782714844 × 216)
    floor (0.874839782714844 × 65536)
    floor (57333.5)     		tx = 57333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139076232910156 × 216)
    floor (0.139076232910156 × 65536)
    floor (9114.5)     		ty = 9114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57333 / 9114 ti = "16/57333/9114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57333/9114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57333 ÷ 216
    57333 ÷ 65536     		x = 0.874832153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9114 ÷ 216
    9114 ÷ 65536     		y = 0.139068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874832153320312 × 2 - 1) × π
    0.749664306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35513988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139068603515625 × 2 - 1) × π
    0.72186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26779884722562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35513988} λ = 2.35513988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26779884722562))-π/2
    2×atan(9.65811840562567)-π/2
    2×1.46762412801218-π/2
    2.93524825602435-1.57079632675     		φ = 1.36445193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35513988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.939575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36445193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.177337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57333 KachelY 9114 2.35513988 1.36445193 134.939575 78.177337
    Oben rechts KachelX + 1 57334 KachelY 9114 2.35523575 1.36445193 134.945068 78.177337
    Unten links KachelX 57333 KachelY + 1 9115 2.35513988 1.36443229 134.939575 78.176212
    Unten rechts KachelX + 1 57334 KachelY + 1 9115 2.35523575 1.36443229 134.945068 78.176212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36445193-1.36443229) × R
    1.96399999998764e-05 × 6371000     		dl = 125.126439999213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36445193-1.36443229) × R
    1.96399999998764e-05 × 6371000     		dr = 125.126439999213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35513988-2.35523575) × cos(1.36445193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204883221993983 × 6371000     		do = 125.140166272117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35513988-2.35523575) × cos(1.36443229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204902445319849 × 6371000     		du = 125.151907644455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36445193)-sin(1.36443229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204883221993983-0.204902445319849)×R²
    abs(2.35523575-2.35513988)×1.92233258666796e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92233258666796e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92233258666796e-05×40589641000000     		ar = 15659.07808512m²