Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57333 / 85288
↖ ↑ ↗
← S 47.591346°
W 22.530213°		 ← 205.98 m → S 47.591346°
W 22.527466°		 →
↑
205.97 m
↓
↑
205.97 m
↓
S 47.593199°
W 22.530213°		 ← 205.98 m →
42 427 m²		 S 47.593199°
W 22.527466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437419891357422 y=0.650699615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437419891357422 × 217)
    floor (0.437419891357422 × 131072)
    floor (57333.5)     		tx = 57333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650699615478516 × 217)
    floor (0.650699615478516 × 131072)
    floor (85288.5)     		ty = 85288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57333 / 85288 ti = "17/57333/85288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57333/85288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57333 ÷ 217
    57333 ÷ 131072     		x = 0.437416076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85288 ÷ 217
    85288 ÷ 131072     		y = 0.65069580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437416076660156 × 2 - 1) × π
    -0.125167846679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39322639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65069580078125 × 2 - 1) × π
    -0.3013916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.946849641295349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39322639} λ = -0.39322639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946849641295349))-π/2
    2×atan(0.387961317577032)-π/2
    2×0.370085317667818-π/2
    0.740170635335636-1.57079632675     		φ = -0.83062569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39322639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.530213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83062569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.591346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57333 KachelY 85288 -0.39322639 -0.83062569 -22.530213 -47.591346
    Oben rechts KachelX + 1 57334 KachelY 85288 -0.39317845 -0.83062569 -22.527466 -47.591346
    Unten links KachelX 57333 KachelY + 1 85289 -0.39322639 -0.83065802 -22.530213 -47.593199
    Unten rechts KachelX + 1 57334 KachelY + 1 85289 -0.39317845 -0.83065802 -22.527466 -47.593199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83062569--0.83065802) × R
    3.23300000000248e-05 × 6371000     		dl = 205.974430000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83062569--0.83065802) × R
    3.23300000000248e-05 × 6371000     		dr = 205.974430000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39322639--0.39317845) × cos(-0.83062569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.674413911718935 × 6371000     		do = 205.983368052915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39322639--0.39317845) × cos(-0.83065802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67439004039816 × 6371000     		du = 205.976077137103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83062569)-sin(-0.83065802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674413911718935-0.67439004039816)×R²
    abs(-0.39317845--0.39322639)×2.38713207747487e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38713207747487e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38713207747487e-05×40589641000000     		ar = 42426.5559567501m²