Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57333 / 85050
↖ ↑ ↗
← S 47.148633°
W 22.530213°		 ← 207.72 m → S 47.148633°
W 22.527466°		 →
↑
207.69 m
↓
↑
207.69 m
↓
S 47.150501°
W 22.530213°		 ← 207.71 m →
43 141 m²		 S 47.150501°
W 22.527466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437419891357422 y=0.648883819580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437419891357422 × 217)
    floor (0.437419891357422 × 131072)
    floor (57333.5)     		tx = 57333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648883819580078 × 217)
    floor (0.648883819580078 × 131072)
    floor (85050.5)     		ty = 85050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57333 / 85050 ti = "17/57333/85050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57333/85050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57333 ÷ 217
    57333 ÷ 131072     		x = 0.437416076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85050 ÷ 217
    85050 ÷ 131072     		y = 0.648880004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437416076660156 × 2 - 1) × π
    -0.125167846679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39322639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648880004882812 × 2 - 1) × π
    -0.297760009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.935440659185776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39322639} λ = -0.39322639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935440659185776))-π/2
    2×atan(0.392412907074331)-π/2
    2×0.373948717112368-π/2
    0.747897434224735-1.57079632675     		φ = -0.82289889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39322639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.530213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82289889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.148633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57333 KachelY 85050 -0.39322639 -0.82289889 -22.530213 -47.148633
    Oben rechts KachelX + 1 57334 KachelY 85050 -0.39317845 -0.82289889 -22.527466 -47.148633
    Unten links KachelX 57333 KachelY + 1 85051 -0.39322639 -0.82293149 -22.530213 -47.150501
    Unten rechts KachelX + 1 57334 KachelY + 1 85051 -0.39317845 -0.82293149 -22.527466 -47.150501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82289889--0.82293149) × R
    3.25999999999382e-05 × 6371000     		dl = 207.694599999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82289889--0.82293149) × R
    3.25999999999382e-05 × 6371000     		dr = 207.694599999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39322639--0.39317845) × cos(-0.82289889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68009883237933 × 6371000     		do = 207.719689152457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39322639--0.39317845) × cos(-0.82293149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68007493229163 × 6371000     		du = 207.712389450485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82289889)-sin(-0.82293149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68009883237933-0.68007493229163)×R²
    abs(-0.39317845--0.39322639)×2.39000877007012e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39000877007012e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39000877007012e-05×40589641000000     		ar = 43141.4997001402m²