Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57332 / 85009
↖ ↑ ↗
← S 47.071992°
W 22.532959°		 ← 207.98 m → S 47.071992°
W 22.530213°		 →
↑
208.01 m
↓
↑
208.01 m
↓
S 47.073863°
W 22.532959°		 ← 207.97 m →
43 261 m²		 S 47.073863°
W 22.530213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437412261962891 y=0.648571014404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437412261962891 × 217)
    floor (0.437412261962891 × 131072)
    floor (57332.5)     		tx = 57332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648571014404297 × 217)
    floor (0.648571014404297 × 131072)
    floor (85009.5)     		ty = 85009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57332 / 85009 ti = "17/57332/85009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57332/85009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57332 ÷ 217
    57332 ÷ 131072     		x = 0.437408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85009 ÷ 217
    85009 ÷ 131072     		y = 0.648567199707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.12518310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39327432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648567199707031 × 2 - 1) × π
    -0.297134399414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.933475246301353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39327432} λ = -0.39327432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933475246301353))-π/2
    2×atan(0.393184918870361)-π/2
    2×0.374617536144928-π/2
    0.749235072289857-1.57079632675     		φ = -0.82156125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39327432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.532959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82156125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.071992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57332 KachelY 85009 -0.39327432 -0.82156125 -22.532959 -47.071992
    Oben rechts KachelX + 1 57333 KachelY 85009 -0.39322639 -0.82156125 -22.530213 -47.071992
    Unten links KachelX 57332 KachelY + 1 85010 -0.39327432 -0.82159390 -22.532959 -47.073863
    Unten rechts KachelX + 1 57333 KachelY + 1 85010 -0.39322639 -0.82159390 -22.530213 -47.073863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82156125--0.82159390) × R
    3.26499999999674e-05 × 6371000     		dl = 208.013149999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82156125--0.82159390) × R
    3.26499999999674e-05 × 6371000     		dr = 208.013149999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39327432--0.39322639) × cos(-0.82156125) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681078874867227 × 6371000     		do = 207.9756278197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39327432--0.39322639) × cos(-0.82159390) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681054967845878 × 6371000     		du = 207.968327523129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82156125)-sin(-0.82159390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681078874867227-0.681054967845878)×R²
    abs(-0.39322639--0.39327432)×2.39070213491344e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39070213491344e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39070213491344e-05×40589641000000     		ar = 43260.9061909849m²