Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57331 / 42454
↖ ↑ ↗
← N 53.399707°
W 22.535705°		 ← 182.10 m → N 53.399707°
W 22.532959°		 →
↑
182.08 m
↓
↑
182.08 m
↓
N 53.398070°
W 22.535705°		 ← 182.11 m →
33 159 m²		 N 53.398070°
W 22.532959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437404632568359 y=0.323902130126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437404632568359 × 217)
    floor (0.437404632568359 × 131072)
    floor (57331.5)     		tx = 57331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323902130126953 × 217)
    floor (0.323902130126953 × 131072)
    floor (42454.5)     		ty = 42454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57331 / 42454 ti = "17/57331/42454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57331/42454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57331 ÷ 217
    57331 ÷ 131072     		x = 0.437400817871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42454 ÷ 217
    42454 ÷ 131072     		y = 0.323898315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437400817871094 × 2 - 1) × π
    -0.125198364257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.39332226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323898315429688 × 2 - 1) × π
    0.352203369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10647951703014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39332226} λ = -0.39332226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10647951703014))-π/2
    2×atan(3.02369476895312)-π/2
    2×1.25139852057422-π/2
    2.50279704114843-1.57079632675     		φ = 0.93200071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39332226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.535705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93200071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.399707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57331 KachelY 42454 -0.39332226 0.93200071 -22.535705 53.399707
    Oben rechts KachelX + 1 57332 KachelY 42454 -0.39327432 0.93200071 -22.532959 53.399707
    Unten links KachelX 57331 KachelY + 1 42455 -0.39332226 0.93197213 -22.535705 53.398070
    Unten rechts KachelX + 1 57332 KachelY + 1 42455 -0.39327432 0.93197213 -22.532959 53.398070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93200071-0.93197213) × R
    2.85799999999448e-05 × 6371000     		dl = 182.083179999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93200071-0.93197213) × R
    2.85799999999448e-05 × 6371000     		dr = 182.083179999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39332226--0.39327432) × cos(0.93200071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596228977808697 × 6371000     		do = 182.103676756546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39332226--0.39327432) × cos(0.93197213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596251922001546 × 6371000     		du = 182.110684503625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93200071)-sin(0.93197213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596228977808697-0.596251922001546)×R²
    abs(-0.39327432--0.39332226)×2.29441928482066e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29441928482066e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29441928482066e-05×40589641000000     		ar = 33158.654552166m²