Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57330 / 9104
↖ ↑ ↗
← N 78.188586°
E134.923096°		 ← 125.02 m → N 78.188586°
E134.928589°		 →
↑
125.06 m
↓
↑
125.06 m
↓
N 78.187462°
E134.923096°		 ← 125.03 m →
15 636 m²		 N 78.187462°
E134.928589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874794006347656 y=0.138923645019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874794006347656 × 216)
    floor (0.874794006347656 × 65536)
    floor (57330.5)     		tx = 57330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138923645019531 × 216)
    floor (0.138923645019531 × 65536)
    floor (9104.5)     		ty = 9104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57330 / 9104 ti = "16/57330/9104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57330/9104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57330 ÷ 216
    57330 ÷ 65536     		x = 0.874786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9104 ÷ 216
    9104 ÷ 65536     		y = 0.138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874786376953125 × 2 - 1) × π
    0.74957275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35485226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138916015625 × 2 - 1) × π
    0.72216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26875758521802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35485226} λ = 2.35485226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26875758521802))-π/2
    2×atan(9.66738245086271)-π/2
    2×1.46772229660848-π/2
    2.93544459321695-1.57079632675     		φ = 1.36464827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35485226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.923096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36464827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.188586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57330 KachelY 9104 2.35485226 1.36464827 134.923096 78.188586
    Oben rechts KachelX + 1 57331 KachelY 9104 2.35494813 1.36464827 134.928589 78.188586
    Unten links KachelX 57330 KachelY + 1 9105 2.35485226 1.36462864 134.923096 78.187462
    Unten rechts KachelX + 1 57331 KachelY + 1 9105 2.35494813 1.36462864 134.928589 78.187462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36464827-1.36462864) × R
    1.96299999999372e-05 × 6371000     		dl = 125.0627299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36464827-1.36462864) × R
    1.96299999999372e-05 × 6371000     		dr = 125.0627299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35485226-2.35494813) × cos(1.36464827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204691043119513 × 6371000     		do = 125.022785765938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35485226-2.35494813) × cos(1.36462864) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204710257446874 × 6371000     		du = 125.034521642099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36464827)-sin(1.36462864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204691043119513-0.204710257446874)×R²
    abs(2.35494813-2.35485226)×1.92143273609613e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92143273609613e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92143273609613e-05×40589641000000     		ar = 15636.4247608875m²