Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57329 / 42450
↖ ↑ ↗
← N 53.406257°
W 22.541199°		 ← 182.08 m → N 53.406257°
W 22.538452°		 →
↑
182.08 m
↓
↑
182.08 m
↓
N 53.404620°
W 22.541199°		 ← 182.08 m →
33 154 m²		 N 53.404620°
W 22.538452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437389373779297 y=0.323871612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437389373779297 × 217)
    floor (0.437389373779297 × 131072)
    floor (57329.5)     		tx = 57329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323871612548828 × 217)
    floor (0.323871612548828 × 131072)
    floor (42450.5)     		ty = 42450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57329 / 42450 ti = "17/57329/42450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57329/42450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57329 ÷ 217
    57329 ÷ 131072     		x = 0.437385559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42450 ÷ 217
    42450 ÷ 131072     		y = 0.323867797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437385559082031 × 2 - 1) × π
    -0.125228881835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.39341814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323867797851562 × 2 - 1) × π
    0.352264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10667126462862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39341814} λ = -0.39341814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10667126462862))-π/2
    2×atan(3.02427461075347)-π/2
    2×1.25145567891155-π/2
    2.5029113578231-1.57079632675     		φ = 0.93211503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39341814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.541199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93211503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.406257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57329 KachelY 42450 -0.39341814 0.93211503 -22.541199 53.406257
    Oben rechts KachelX + 1 57330 KachelY 42450 -0.39337020 0.93211503 -22.538452 53.406257
    Unten links KachelX 57329 KachelY + 1 42451 -0.39341814 0.93208645 -22.541199 53.404620
    Unten rechts KachelX + 1 57330 KachelY + 1 42451 -0.39337020 0.93208645 -22.538452 53.404620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93211503-0.93208645) × R
    2.85799999999448e-05 × 6371000     		dl = 182.083179999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93211503-0.93208645) × R
    2.85799999999448e-05 × 6371000     		dr = 182.083179999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39341814--0.39337020) × cos(0.93211503) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596137196167396 × 6371000     		do = 182.075644281044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39341814--0.39337020) × cos(0.93208645) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.59616014230817 × 6371000     		du = 182.08265262307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93211503)-sin(0.93208645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596137196167396-0.59616014230817)×R²
    abs(-0.39337020--0.39341814)×2.29461407740272e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29461407740272e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29461407740272e-05×40589641000000     		ar = 33153.5503639524m²