Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57328 / 9102
↖ ↑ ↗
← N 78.190835°
E134.912109°		 ← 125 m → N 78.190835°
E134.917602°		 →
↑
125 m
↓
↑
125 m
↓
N 78.189711°
E134.912109°		 ← 125.01 m →
15 626 m²		 N 78.189711°
E134.917602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874763488769531 y=0.138893127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874763488769531 × 216)
    floor (0.874763488769531 × 65536)
    floor (57328.5)     		tx = 57328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138893127441406 × 216)
    floor (0.138893127441406 × 65536)
    floor (9102.5)     		ty = 9102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57328 / 9102 ti = "16/57328/9102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57328/9102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57328 ÷ 216
    57328 ÷ 65536     		x = 0.874755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9102 ÷ 216
    9102 ÷ 65536     		y = 0.138885498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874755859375 × 2 - 1) × π
    0.74951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35466051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138885498046875 × 2 - 1) × π
    0.72222900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2689493328165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35466051} λ = 2.35466051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2689493328165))-π/2
    2×atan(9.66923632596363)-π/2
    2×1.46774191927526-π/2
    2.93548383855051-1.57079632675     		φ = 1.36468751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35466051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36468751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.190835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57328 KachelY 9102 2.35466051 1.36468751 134.912109 78.190835
    Oben rechts KachelX + 1 57329 KachelY 9102 2.35475638 1.36468751 134.917602 78.190835
    Unten links KachelX 57328 KachelY + 1 9103 2.35466051 1.36466789 134.912109 78.189711
    Unten rechts KachelX + 1 57329 KachelY + 1 9103 2.35475638 1.36466789 134.917602 78.189711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36468751-1.36466789) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dl = 124.999019999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36468751-1.36466789) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dr = 124.999019999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35466051-2.35475638) × cos(1.36468751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204652633804866 × 6371000     		do = 124.999325826298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35466051-2.35475638) × cos(1.36466789) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204671838501583 × 6371000     		du = 125.011055820179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36468751)-sin(1.36466789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204652633804866-0.204671838501583)×R²
    abs(2.35475638-2.35466051)×1.92046967167903e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92046967167903e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92046967167903e-05×40589641000000     		ar = 15625.5263484672m²