Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57326 / 9165
↖ ↑ ↗
← N 78.119801°
E134.901123°		 ← 125.75 m → N 78.119801°
E134.906616°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
N 78.118670°
E134.901123°		 ← 125.77 m →
15 816 m²		 N 78.118670°
E134.906616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874732971191406 y=0.139854431152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874732971191406 × 216)
    floor (0.874732971191406 × 65536)
    floor (57326.5)     		tx = 57326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139854431152344 × 216)
    floor (0.139854431152344 × 65536)
    floor (9165.5)     		ty = 9165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57326 / 9165 ti = "16/57326/9165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57326/9165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57326 ÷ 216
    57326 ÷ 65536     		x = 0.874725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9165 ÷ 216
    9165 ÷ 65536     		y = 0.139846801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874725341796875 × 2 - 1) × π
    0.74945068359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35446876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139846801757812 × 2 - 1) × π
    0.720306396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26290928346437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35446876} λ = 2.35446876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26290928346437))-π/2
    2×atan(9.61100968427168)-π/2
    2×1.46712203279063-π/2
    2.93424406558126-1.57079632675     		φ = 1.36344774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35446876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.901123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36344774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.119801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57326 KachelY 9165 2.35446876 1.36344774 134.901123 78.119801
    Oben rechts KachelX + 1 57327 KachelY 9165 2.35456464 1.36344774 134.906616 78.119801
    Unten links KachelX 57326 KachelY + 1 9166 2.35446876 1.36342800 134.901123 78.118670
    Unten rechts KachelX + 1 57327 KachelY + 1 9166 2.35456464 1.36342800 134.906616 78.118670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36344774-1.36342800) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dl = 125.763539999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36344774-1.36342800) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dr = 125.763539999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35446876-2.35456464) × cos(1.36344774) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.205866006066837 × 6371000     		do = 125.753554487534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35446876-2.35456464) × cos(1.36342800) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.205885323199669 × 6371000     		du = 125.765354386714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36344774)-sin(1.36342800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205866006066837-0.205885323199669)×R²
    abs(2.35456464-2.35446876)×1.93171328324304e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.93171328324304e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.93171328324304e-05×40589641000000     		ar = 15815.9541791361m²