Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57326 / 9101
↖ ↑ ↗
← N 78.191959°
E134.901123°		 ← 125 m → N 78.191959°
E134.906616°		 →
↑
125 m
↓
↑
125 m
↓
N 78.190835°
E134.901123°		 ← 125.01 m →
15 626 m²		 N 78.190835°
E134.906616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874732971191406 y=0.138877868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874732971191406 × 216)
    floor (0.874732971191406 × 65536)
    floor (57326.5)     		tx = 57326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138877868652344 × 216)
    floor (0.138877868652344 × 65536)
    floor (9101.5)     		ty = 9101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57326 / 9101 ti = "16/57326/9101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57326/9101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57326 ÷ 216
    57326 ÷ 65536     		x = 0.874725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9101 ÷ 216
    9101 ÷ 65536     		y = 0.138870239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874725341796875 × 2 - 1) × π
    0.74945068359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35446876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138870239257812 × 2 - 1) × π
    0.722259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26904520661574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35446876} λ = 2.35446876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26904520661574))-π/2
    2×atan(9.67016339682614)-π/2
    2×1.46775172922762-π/2
    2.93550345845525-1.57079632675     		φ = 1.36470713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35446876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.901123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36470713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.191959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57326 KachelY 9101 2.35446876 1.36470713 134.901123 78.191959
    Oben rechts KachelX + 1 57327 KachelY 9101 2.35456464 1.36470713 134.906616 78.191959
    Unten links KachelX 57326 KachelY + 1 9102 2.35446876 1.36468751 134.901123 78.190835
    Unten rechts KachelX + 1 57327 KachelY + 1 9102 2.35456464 1.36468751 134.906616 78.190835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36470713-1.36468751) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dl = 124.999019999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36470713-1.36468751) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dr = 124.999019999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35446876-2.35456464) × cos(1.36470713) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20463342902937 × 6371000     		do = 125.000632979984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35446876-2.35456464) × cos(1.36468751) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204652633804866 × 6371000     		du = 125.012364245519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36470713)-sin(1.36468751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20463342902937-0.204652633804866)×R²
    abs(2.35456464-2.35446876)×1.92047754966618e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.92047754966618e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.92047754966618e-05×40589641000000     		ar = 15625.6898208569m²