Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57326 / 42458
↖ ↑ ↗
← N 53.393157°
W 22.549439°		 ← 182.13 m → N 53.393157°
W 22.546692°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
N 53.391518°
W 22.549439°		 ← 182.14 m →
33 175 m²		 N 53.391518°
W 22.546692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437366485595703 y=0.323932647705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437366485595703 × 217)
    floor (0.437366485595703 × 131072)
    floor (57326.5)     		tx = 57326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323932647705078 × 217)
    floor (0.323932647705078 × 131072)
    floor (42458.5)     		ty = 42458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57326 / 42458 ti = "17/57326/42458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57326/42458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57326 ÷ 217
    57326 ÷ 131072     		x = 0.437362670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42458 ÷ 217
    42458 ÷ 131072     		y = 0.323928833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437362670898438 × 2 - 1) × π
    -0.125274658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39356195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323928833007812 × 2 - 1) × π
    0.352142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10628776943166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39356195} λ = -0.39356195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10628776943166))-π/2
    2×atan(3.02311503832539)-π/2
    2×1.25134135343738-π/2
    2.50268270687476-1.57079632675     		φ = 0.93188638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39356195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.549439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93188638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.393157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57326 KachelY 42458 -0.39356195 0.93188638 -22.549439 53.393157
    Oben rechts KachelX + 1 57327 KachelY 42458 -0.39351401 0.93188638 -22.546692 53.393157
    Unten links KachelX 57326 KachelY + 1 42459 -0.39356195 0.93185779 -22.549439 53.391518
    Unten rechts KachelX + 1 57327 KachelY + 1 42459 -0.39351401 0.93185779 -22.546692 53.391518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93188638-0.93185779) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93188638-0.93185779) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39356195--0.39351401) × cos(0.93188638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596320759685308 × 6371000     		do = 182.131709304128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39356195--0.39351401) × cos(0.93185779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596343709957052 × 6371000     		du = 182.138718907858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93188638)-sin(0.93185779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596320759685308-0.596343709957052)×R²
    abs(-0.39351401--0.39356195)×2.29502717440377e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29502717440377e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29502717440377e-05×40589641000000     		ar = 33175.3628111187m²