Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57324 / 9108
↖ ↑ ↗
← N 78.184088°
E134.890136°		 ← 125.08 m → N 78.184088°
E134.895630°		 →
↑
125.06 m
↓
↑
125.06 m
↓
N 78.182963°
E134.890136°		 ← 125.09 m →
15 644 m²		 N 78.182963°
E134.895630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874702453613281 y=0.138984680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874702453613281 × 216)
    floor (0.874702453613281 × 65536)
    floor (57324.5)     		tx = 57324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138984680175781 × 216)
    floor (0.138984680175781 × 65536)
    floor (9108.5)     		ty = 9108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57324 / 9108 ti = "16/57324/9108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57324/9108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57324 ÷ 216
    57324 ÷ 65536     		x = 0.87469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9108 ÷ 216
    9108 ÷ 65536     		y = 0.13897705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87469482421875 × 2 - 1) × π
    0.7493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35427701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13897705078125 × 2 - 1) × π
    0.7220458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26837409002106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35427701} λ = 2.35427701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26837409002106))-π/2
    2×atan(9.6636757669188)-π/2
    2×1.46768304022442-π/2
    2.93536608044883-1.57079632675     		φ = 1.36456975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35427701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.890136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36456975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.184088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57324 KachelY 9108 2.35427701 1.36456975 134.890136 78.184088
    Oben rechts KachelX + 1 57325 KachelY 9108 2.35437289 1.36456975 134.895630 78.184088
    Unten links KachelX 57324 KachelY + 1 9109 2.35427701 1.36455012 134.890136 78.182963
    Unten rechts KachelX + 1 57325 KachelY + 1 9109 2.35437289 1.36455012 134.895630 78.182963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36456975-1.36455012) × R
    1.96299999999372e-05 × 6371000     		dl = 125.0627299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36456975-1.36455012) × R
    1.96299999999372e-05 × 6371000     		dr = 125.0627299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35427701-2.35437289) × cos(1.36456975) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204767899955633 × 6371000     		do = 125.082774744308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35427701-2.35437289) × cos(1.36455012) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204787113967419 × 6371000     		du = 125.094511651845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36456975)-sin(1.36455012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204767899955633-0.204787113967419)×R²
    abs(2.35437289-2.35427701)×1.92140117868667e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.92140117868667e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.92140117868667e-05×40589641000000     		ar = 15643.9272108496m²