Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57324 / 9083
↖ ↑ ↗
← N 78.212176°
E134.890136°		 ← 124.79 m → N 78.212176°
E134.895630°		 →
↑
124.81 m
↓
↑
124.81 m
↓
N 78.211053°
E134.890136°		 ← 124.80 m →
15 575 m²		 N 78.211053°
E134.895630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874702453613281 y=0.138603210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874702453613281 × 216)
    floor (0.874702453613281 × 65536)
    floor (57324.5)     		tx = 57324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138603210449219 × 216)
    floor (0.138603210449219 × 65536)
    floor (9083.5)     		ty = 9083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57324 / 9083 ti = "16/57324/9083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57324/9083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57324 ÷ 216
    57324 ÷ 65536     		x = 0.87469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9083 ÷ 216
    9083 ÷ 65536     		y = 0.138595581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87469482421875 × 2 - 1) × π
    0.7493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35427701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138595581054688 × 2 - 1) × π
    0.722808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27077093500206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35427701} λ = 2.35427701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27077093500206))-π/2
    2×atan(9.68686588013)-π/2
    2×1.46792815103253-π/2
    2.93585630206505-1.57079632675     		φ = 1.36505998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35427701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.890136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36505998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.212176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57324 KachelY 9083 2.35427701 1.36505998 134.890136 78.212176
    Oben rechts KachelX + 1 57325 KachelY 9083 2.35437289 1.36505998 134.895630 78.212176
    Unten links KachelX 57324 KachelY + 1 9084 2.35427701 1.36504039 134.890136 78.211053
    Unten rechts KachelX + 1 57325 KachelY + 1 9084 2.35437289 1.36504039 134.895630 78.211053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36505998-1.36504039) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dl = 124.807889999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36505998-1.36504039) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dr = 124.807889999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35427701-2.35437289) × cos(1.36505998) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204288033069862 × 6371000     		do = 124.789647346932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35427701-2.35437289) × cos(1.36504039) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204307209893685 × 6371000     		du = 124.801361538146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36505998)-sin(1.36504039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204288033069862-0.204307209893685)×R²
    abs(2.35437289-2.35427701)×1.91768238232692e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.91768238232692e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.91768238232692e-05×40589641000000     		ar = 15575.4635915216m²