Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57324 / 85174
↖ ↑ ↗
← S 47.379754°
W 22.554932°		 ← 206.81 m → S 47.379754°
W 22.552185°		 →
↑
206.80 m
↓
↑
206.80 m
↓
S 47.381614°
W 22.554932°		 ← 206.81 m →
42 769 m²		 S 47.381614°
W 22.552185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437351226806641 y=0.649829864501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437351226806641 × 217)
    floor (0.437351226806641 × 131072)
    floor (57324.5)     		tx = 57324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649829864501953 × 217)
    floor (0.649829864501953 × 131072)
    floor (85174.5)     		ty = 85174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57324 / 85174 ti = "17/57324/85174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57324/85174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57324 ÷ 217
    57324 ÷ 131072     		x = 0.437347412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85174 ÷ 217
    85174 ÷ 131072     		y = 0.649826049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437347412109375 × 2 - 1) × π
    -0.12530517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39365782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649826049804688 × 2 - 1) × π
    -0.299652099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.941384834738663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39365782} λ = -0.39365782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941384834738663))-π/2
    2×atan(0.390087254756019)-π/2
    2×0.371931807012978-π/2
    0.743863614025956-1.57079632675     		φ = -0.82693271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39365782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.554932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82693271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.379754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57324 KachelY 85174 -0.39365782 -0.82693271 -22.554932 -47.379754
    Oben rechts KachelX + 1 57325 KachelY 85174 -0.39360988 -0.82693271 -22.552185 -47.379754
    Unten links KachelX 57324 KachelY + 1 85175 -0.39365782 -0.82696517 -22.554932 -47.381614
    Unten rechts KachelX + 1 57325 KachelY + 1 85175 -0.39360988 -0.82696517 -22.552185 -47.381614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82693271--0.82696517) × R
    3.24600000000119e-05 × 6371000     		dl = 206.802660000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82693271--0.82696517) × R
    3.24600000000119e-05 × 6371000     		dr = 206.802660000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39365782--0.39360988) × cos(-0.82693271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67713603133387 × 6371000     		do = 206.814773450675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39365782--0.39360988) × cos(-0.82696517) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.677112145030897 × 6371000     		du = 206.807477958913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82693271)-sin(-0.82696517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67713603133387-0.677112145030897)×R²
    abs(-0.39360988--0.39365782)×2.38863029732306e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38863029732306e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38863029732306e-05×40589641000000     		ar = 42769.0909172091m²