Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57324 / 81180
↖ ↑ ↗
← S 39.427707°
W 22.554932°		 ← 235.92 m → S 39.427707°
W 22.552185°		 →
↑
235.92 m
↓
↑
235.92 m
↓
S 39.429829°
W 22.554932°		 ← 235.91 m →
55 657 m²		 S 39.429829°
W 22.552185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437351226806641 y=0.619358062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437351226806641 × 217)
    floor (0.437351226806641 × 131072)
    floor (57324.5)     		tx = 57324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619358062744141 × 217)
    floor (0.619358062744141 × 131072)
    floor (81180.5)     		ty = 81180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57324 / 81180 ti = "17/57324/81180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57324/81180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57324 ÷ 217
    57324 ÷ 131072     		x = 0.437347412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81180 ÷ 217
    81180 ÷ 131072     		y = 0.619354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437347412109375 × 2 - 1) × π
    -0.12530517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39365782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.23870849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.749924857656158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39365782} λ = -0.39365782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749924857656158))-π/2
    2×atan(0.472402048804552)-π/2
    2×0.441326508218161-π/2
    0.882653016436323-1.57079632675     		φ = -0.68814331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39365782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.554932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68814331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.427707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57324 KachelY 81180 -0.39365782 -0.68814331 -22.554932 -39.427707
    Oben rechts KachelX + 1 57325 KachelY 81180 -0.39360988 -0.68814331 -22.552185 -39.427707
    Unten links KachelX 57324 KachelY + 1 81181 -0.39365782 -0.68818034 -22.554932 -39.429829
    Unten rechts KachelX + 1 57325 KachelY + 1 81181 -0.39360988 -0.68818034 -22.552185 -39.429829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68814331--0.68818034) × R
    3.70299999999935e-05 × 6371000     		dl = 235.918129999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68814331--0.68818034) × R
    3.70299999999935e-05 × 6371000     		dr = 235.918129999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39365782--0.39360988) × cos(-0.68814331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772426537181987 × 6371000     		do = 235.918946714291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39365782--0.39360988) × cos(-0.68818034) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772403018746804 × 6371000     		du = 235.911763578822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68814331)-sin(-0.68818034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772426537181987-0.772403018746804)×R²
    abs(-0.39360988--0.39365782)×2.35184351832229e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35184351832229e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35184351832229e-05×40589641000000     		ar = 55656.7094308668m²