Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57324 / 44124
↖ ↑ ↗
← N 50.576260°
W 22.554932°		 ← 193.96 m → N 50.576260°
W 22.552185°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
N 50.574516°
W 22.554932°		 ← 193.97 m →
37 616 m²		 N 50.574516°
W 22.552185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437351226806641 y=0.336643218994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437351226806641 × 217)
    floor (0.437351226806641 × 131072)
    floor (57324.5)     		tx = 57324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336643218994141 × 217)
    floor (0.336643218994141 × 131072)
    floor (44124.5)     		ty = 44124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57324 / 44124 ti = "17/57324/44124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57324/44124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57324 ÷ 217
    57324 ÷ 131072     		x = 0.437347412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44124 ÷ 217
    44124 ÷ 131072     		y = 0.336639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437347412109375 × 2 - 1) × π
    -0.12530517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39365782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336639404296875 × 2 - 1) × π
    0.32672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02642489466464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39365782} λ = -0.39365782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02642489466464))-π/2
    2×atan(2.79106960871631)-π/2
    2×1.22675929580236-π/2
    2.45351859160471-1.57079632675     		φ = 0.88272226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39365782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.554932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88272226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.576260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57324 KachelY 44124 -0.39365782 0.88272226 -22.554932 50.576260
    Oben rechts KachelX + 1 57325 KachelY 44124 -0.39360988 0.88272226 -22.552185 50.576260
    Unten links KachelX 57324 KachelY + 1 44125 -0.39365782 0.88269182 -22.554932 50.574516
    Unten rechts KachelX + 1 57325 KachelY + 1 44125 -0.39360988 0.88269182 -22.552185 50.574516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88272226-0.88269182) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dl = 193.933239999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88272226-0.88269182) × R
    3.04399999999649e-05 × 6371000     		dr = 193.933239999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39365782--0.39360988) × cos(0.88272226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635050634303192 × 6371000     		do = 193.960809919395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39365782--0.39360988) × cos(0.88269182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635074148011356 × 6371000     		du = 193.967991611111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88272226)-sin(0.88269182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635050634303192-0.635074148011356)×R²
    abs(-0.39360988--0.39365782)×2.35137081638914e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35137081638914e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35137081638914e-05×40589641000000     		ar = 37616.1446879227m²