Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57318 / 9090
↖ ↑ ↗
← N 78.204318°
E134.857178°		 ← 124.87 m → N 78.204318°
E134.862671°		 →
↑
124.87 m
↓
↑
124.87 m
↓
N 78.203195°
E134.857178°		 ← 124.88 m →
15 594 m²		 N 78.203195°
E134.862671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874610900878906 y=0.138710021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874610900878906 × 216)
    floor (0.874610900878906 × 65536)
    floor (57318.5)     		tx = 57318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138710021972656 × 216)
    floor (0.138710021972656 × 65536)
    floor (9090.5)     		ty = 9090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57318 / 9090 ti = "16/57318/9090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57318/9090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57318 ÷ 216
    57318 ÷ 65536     		x = 0.874603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9090 ÷ 216
    9090 ÷ 65536     		y = 0.138702392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874603271484375 × 2 - 1) × π
    0.74920654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35370177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138702392578125 × 2 - 1) × π
    0.72259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27009981840738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35370177} λ = 2.35370177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27009981840738))-π/2
    2×atan(9.68036704466948)-π/2
    2×1.46785957796412-π/2
    2.93571915592823-1.57079632675     		φ = 1.36492283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35370177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.857178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36492283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.204318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57318 KachelY 9090 2.35370177 1.36492283 134.857178 78.204318
    Oben rechts KachelX + 1 57319 KachelY 9090 2.35379765 1.36492283 134.862671 78.204318
    Unten links KachelX 57318 KachelY + 1 9091 2.35370177 1.36490323 134.857178 78.203195
    Unten rechts KachelX + 1 57319 KachelY + 1 9091 2.35379765 1.36490323 134.862671 78.203195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36492283-1.36490323) × R
    1.96000000001195e-05 × 6371000     		dl = 124.871600000761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36492283-1.36490323) × R
    1.96000000001195e-05 × 6371000     		dr = 124.871600000761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35370177-2.35379765) × cos(1.36492283) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.204422288767485 × 6371000     		do = 124.871657639102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35370177-2.35379765) × cos(1.36490323) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.204441474831016 × 6371000     		du = 124.883377474405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36492283)-sin(1.36490323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204422288767485-0.204441474831016)×R²
    abs(2.35379765-2.35370177)×1.91860635305463e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.91860635305463e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.91860635305463e-05×40589641000000     		ar = 15593.6554220333m²