Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57317 / 9085
↖ ↑ ↗
← N 78.209931°
E134.851685°		 ← 124.80 m → N 78.209931°
E134.857178°		 →
↑
124.81 m
↓
↑
124.81 m
↓
N 78.208808°
E134.851685°		 ← 124.81 m →
15 577 m²		 N 78.208808°
E134.857178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874595642089844 y=0.138633728027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874595642089844 × 216)
    floor (0.874595642089844 × 65536)
    floor (57317.5)     		tx = 57317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138633728027344 × 216)
    floor (0.138633728027344 × 65536)
    floor (9085.5)     		ty = 9085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57317 / 9085 ti = "16/57317/9085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57317/9085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57317 ÷ 216
    57317 ÷ 65536     		x = 0.874588012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9085 ÷ 216
    9085 ÷ 65536     		y = 0.138626098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874588012695312 × 2 - 1) × π
    0.749176025390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35360590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138626098632812 × 2 - 1) × π
    0.722747802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27057918740358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35360590} λ = 2.35360590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27057918740358))-π/2
    2×atan(9.68500862492849)-π/2
    2×1.46790856332393-π/2
    2.93581712664787-1.57079632675     		φ = 1.36502080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35360590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.851685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36502080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.209931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57317 KachelY 9085 2.35360590 1.36502080 134.851685 78.209931
    Oben rechts KachelX + 1 57318 KachelY 9085 2.35370177 1.36502080 134.857178 78.209931
    Unten links KachelX 57317 KachelY + 1 9086 2.35360590 1.36500121 134.851685 78.208808
    Unten rechts KachelX + 1 57318 KachelY + 1 9086 2.35370177 1.36500121 134.857178 78.208808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36502080-1.36500121) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dl = 124.807889999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36502080-1.36500121) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dr = 124.807889999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35360590-2.35370177) × cos(1.36502080) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204326386639102 × 6371000     		do = 124.800058047452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35360590-2.35370177) × cos(1.36500121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204345563306105 × 6371000     		du = 124.811770921127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36502080)-sin(1.36500121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204326386639102-0.204345563306105)×R²
    abs(2.35370177-2.35360590)×1.91766670027127e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91766670027127e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91766670027127e-05×40589641000000     		ar = 15576.7628468277m²