Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57315 / 9058
↖ ↑ ↗
← N 78.240197°
E134.840698°		 ← 124.48 m → N 78.240197°
E134.846191°		 →
↑
124.49 m
↓
↑
124.49 m
↓
N 78.239078°
E134.840698°		 ← 124.50 m →
15 498 m²		 N 78.239078°
E134.846191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874565124511719 y=0.138221740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874565124511719 × 216)
    floor (0.874565124511719 × 65536)
    floor (57315.5)     		tx = 57315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138221740722656 × 216)
    floor (0.138221740722656 × 65536)
    floor (9058.5)     		ty = 9058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57315 / 9058 ti = "16/57315/9058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57315/9058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57315 ÷ 216
    57315 ÷ 65536     		x = 0.874557495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9058 ÷ 216
    9058 ÷ 65536     		y = 0.138214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874557495117188 × 2 - 1) × π
    0.749114990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35341415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138214111328125 × 2 - 1) × π
    0.72357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27316777998306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35341415} λ = 2.35341415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27316777998306))-π/2
    2×atan(9.71011164311296)-π/2
    2×1.46817268741195-π/2
    2.9363453748239-1.57079632675     		φ = 1.36554905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35341415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.840698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36554905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.240197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57315 KachelY 9058 2.35341415 1.36554905 134.840698 78.240197
    Oben rechts KachelX + 1 57316 KachelY 9058 2.35351002 1.36554905 134.846191 78.240197
    Unten links KachelX 57315 KachelY + 1 9059 2.35341415 1.36552951 134.840698 78.239078
    Unten rechts KachelX + 1 57316 KachelY + 1 9059 2.35351002 1.36552951 134.846191 78.239078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36554905-1.36552951) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dl = 124.489340000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36554905-1.36552951) × R
    1.95400000000401e-05 × 6371000     		dr = 124.489340000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35341415-2.35351002) × cos(1.36554905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203809252740931 × 6371000     		do = 124.484198986997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35341415-2.35351002) × cos(1.36552951) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203828382569481 × 6371000     		du = 124.495883252317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36554905)-sin(1.36552951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203809252740931-0.203828382569481)×R²
    abs(2.35351002-2.35341415)×1.91298285495967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91298285495967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91298285495967e-05×40589641000000     		ar = 15497.6830561726m²