Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57313 / 85206
↖ ↑ ↗
← S 47.439235°
W 22.585144°		 ← 206.58 m → S 47.439235°
W 22.582398°		 →
↑
206.55 m
↓
↑
206.55 m
↓
S 47.441092°
W 22.585144°		 ← 206.57 m →
42 668 m²		 S 47.441092°
W 22.582398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437267303466797 y=0.650074005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437267303466797 × 217)
    floor (0.437267303466797 × 131072)
    floor (57313.5)     		tx = 57313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650074005126953 × 217)
    floor (0.650074005126953 × 131072)
    floor (85206.5)     		ty = 85206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57313 / 85206 ti = "17/57313/85206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57313/85206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57313 ÷ 217
    57313 ÷ 131072     		x = 0.437263488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85206 ÷ 217
    85206 ÷ 131072     		y = 0.650070190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437263488769531 × 2 - 1) × π
    -0.125473022460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.39418513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650070190429688 × 2 - 1) × π
    -0.300140380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.942918815526505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39418513} λ = -0.39418513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942918815526505))-π/2
    2×atan(0.38948932712364)-π/2
    2×0.371412743289002-π/2
    0.742825486578003-1.57079632675     		φ = -0.82797084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39418513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.585144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82797084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.439235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57313 KachelY 85206 -0.39418513 -0.82797084 -22.585144 -47.439235
    Oben rechts KachelX + 1 57314 KachelY 85206 -0.39413719 -0.82797084 -22.582398 -47.439235
    Unten links KachelX 57313 KachelY + 1 85207 -0.39418513 -0.82800326 -22.585144 -47.441092
    Unten rechts KachelX + 1 57314 KachelY + 1 85207 -0.39413719 -0.82800326 -22.582398 -47.441092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82797084--0.82800326) × R
    3.2420000000033e-05 × 6371000     		dl = 206.54782000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82797084--0.82800326) × R
    3.2420000000033e-05 × 6371000     		dr = 206.54782000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39418513--0.39413719) × cos(-0.82797084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676371750467971 × 6371000     		do = 206.58134240164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39418513--0.39413719) × cos(-0.82800326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676347870823643 × 6371000     		du = 206.5740489436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82797084)-sin(-0.82800326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676371750467971-0.676347870823643)×R²
    abs(-0.39413719--0.39418513)×2.38796443275957e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38796443275957e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38796443275957e-05×40589641000000     		ar = 42668.1727057039m²